3 Sobre los lados de un triángulo no obtuso $ABC$ se construyen exteriormente un cuadrado, un polígono regular de $n$ lados y un polígono regular de $m$ lados ( $m$ , $n > 5$ ), de modo que sus centros son vértices de un triángulo regular. Demuestre que $m = n = 6$ y halle los ángulos de $\triangle ABC$ .

2 Sean $m$ y $n$ números naturales tales que: $3m|(m+3)^n+1$ Demuestre que $\frac{(m+3)^n+1}{3m}$ es impar Legend-crush

3 Los lados y las diagonales de un polígono regular de $n$ lados $R$ se colorean con $k$ colores de modo que: (i) Para cada color $a$ y cualesquiera dos vértices $A$ , $B$ de $R$ , el segmento $AB$ es del color $a$ o existe un vértice $C$ tal que $AC$ y $BC$ son del color $a$ . (ii) Los lados de cualquier triángulo con vértices en vértices de $R$ se colorean con a lo sumo dos colores. Demuestre que $k\leq 2$ .

1 Considere el polinomio $P_n(x) = \binom {n}{2}+\binom {n}{5}x+\binom {n}{8}x^2 + \cdots + \binom {n}{3k+2}x^{3k}$ donde $n \ge 2$ es un número natural y $k = \left\lfloor \frac{n-2}{3} \right \rfloor$ (a) Demuestre que $P_{n+3}(x)=3P_{n+2}(x)-3P_{n+1}(x)+(x+1)P_n(x)$ (b) Halle todos los números enteros $a$ tales que $P_n(a^3)$ es divisible por $3^{ \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}$ para todo $n \ge 2$

2 Sea $M$ el baricentro de $\Delta ABC$ . Demuestre la desigualdad $\sin \angle CAM + \sin\angle CBM \le \frac{2}{\sqrt 3}$ (a) si la circunferencia circunscrita de $\Delta AMC$ es tangente a la recta $AB$ (b) para cualquier $\Delta ABC$

3 Sean $n$ y $m$ números naturales tales que $m+ i=a_ib_i^2$ para $i=1,2, \cdots n$ , donde $a_i$ y $b_i$ son números naturales y $a_i$ no es divisible por el cuadrado de un número primo. Halle todos los $n$ para los cuales existe un $m$ tal que $\sum_{i=1}^{n}a_i=12$

1 Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ números reales positivos tales que $ abc=1$ . Demuestre que $ \frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}+\frac{1}{1+a+b}\leq\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$ .

3 Sea $X$ un conjunto de $n + 1$ elementos, $n\geq 2$ . Las $n$ - tuplas ordenadas $(a_1,\ldots,a_n)$ y $(b_1,\ldots,b_n)$ formadas por elementos distintos de $X$ se llaman disjuntas si existen índices distintos $1\leq i \neq j\leq n$ tales que $a_i = b_j$ . Halle el número máximo de $n$ - tuplas disjuntas dos a dos.

1 Halle todos los números primos $p,q$ para los cuales $pq$ divide a $(5^p-2^p)(5^q-2^q)$ .

2 Halle la longitud del lado del triángulo equilátero más pequeño en el que se pueden colocar tres discos de radios $2,3,4$ sin superponerse.