31 Resuelve la ecuación $|x^2 -1|+ |x^2 - 4| = mx$ en función del parámetro $m$. ¿Qué pares $(x,m)$ de enteros satisfacen esta ecuación? Amir

32 Los lados $a,$ $b,$ $c$ de un triángulo $ABC$ forman una progresión aritmética (tal que $b-a=c-b$). Los lados $a_{1},$ $b_{1},$ $c_{1}$ de un triángulo $A_{1}B_{1}C_{1}$ también forman una progresión aritmética (con $b_{1}-a_{1}=c_{1}-b_{1}$). [Aquí, $a=BC,$ $b=CA,$ $c=AB,$ $a_{1}=B_{1}C_{1},$ $b_{1}=C_{1}A_{1},$ $c_{1}=A_{1}B_{1}.$] Además, sabemos que $\measuredangle CAB=\measuredangle C_{1}A_{1}B_{1}.$ Demuestra que los triángulos $ABC$ y $A_{1}B_{1}C_{1}$ son semejantes.

29 Un número natural dado $N$ se descompone en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentra todas las descomposiciones de este tipo para $N=500.$ b.) ¿Cuántas descomposiciones de este tipo tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen solo sumandos naturales? c.) Determina el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera un número natural.

30 Sea $n$ un entero positivo, demuestra que: (a) $\log_{10}(n + 1) > \frac{3}{10n} +\log_{10}n ;$ (b) $ \log n! > \frac{3n}{10}\left( \frac 12+\frac 13 +\cdots +\frac 1n -1\right).$ Amir

38 Dos círculos concéntricos tienen radios $R$ y $r$ respectivamente. Determina el mayor número posible de círculos que sean tangentes a ambos círculos y mutuamente no se intersecten. Demuestra que este número está entre $\frac 32 \cdot \frac{\sqrt R +\sqrt r }{\sqrt R -\sqrt r } -1$ y $\frac{63}{20} \cdot \frac{R+r}{R-r}.$ Amir

39 Considera un círculo con centro \(O\) y radio \(R,\) y sean \(A\) y \(B\) dos puntos en el plano de este círculo. a.) Traza una cuerda \(CD\) del círculo tal que \(CD\) sea paralela a \(AB,\) y el punto de intersección \(P\) de las rectas \(AC\) y \(BD\) esté sobre el círculo. b.) Muestra que, en general, se obtienen dos puntos posibles \(P\) ( \(P_{1}\) y \(P_{2}\) ) que satisfacen la condición del problema anterior, y calcula la distancia entre estos dos puntos, si se dan las longitudes \(OA=a,\) \(OB=b\) y \(AB=d.\)

40 Para un número real positivo $p$, encuentra todas las soluciones reales de la ecuación \[\sqrt{x^2 + 2px - p^2} -\sqrt{x^2 - 2px - p^2} =1.\] Amir

41 Dado un $n$ -ágono regular $A_{1}A_{2}...A_{n}$ (con $n\geq 3$) en un plano. ¿Cuántos triángulos del tipo $A_{i}A_{j}A_{k}$ son obtusos?

42 Dada una sucesión finita de enteros $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ para $n\geq 2.$ Demuestra que existe una subsucesión $a_{k_{1}},$ $a_{k_{2}},$ $...,$ $a_{k_{m}},$ donde $1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq...\leq k_{m}\leq n,$ tal que el número $a_{k_{1}}^{2}+a_{k_{2}}^{2}+...+a_{k_{m}}^{2}$ es divisible por $n.$ Nota de Darij: Por supuesto, los $1\leq k_{1}\leq k_{2}\leq ...\leq k_{m}\leq n$ deben entenderse como $1\leq k_{1}<k_{2}<...<k_{m}\leq n;$ de lo contrario, podríamos tomar $m=n$ y $k_{1}=k_{2}=...=k_{m},$ de modo que el número $a_{k_{1}}^{2}+a_{k_{2}}^{2}+...+a_{k_{m}}^{2}=n^{2}a_{k_{1}}^{2}$ seguramente será divisible por $n.$

43 Dados 5 puntos en un plano, sin que tres de ellos sean colineales. Cada par de estos 5 puntos se une con un segmento, y cada uno de estos segmentos se pinta de rojo o de azul; supón que no hay ningún triángulo cuyos lados sean segmentos del mismo color. a.) Demuestra que: (1) Entre los cuatro segmentos que parten de cualquiera de los 5 puntos, dos son rojos y dos son azules. (2) Los segmentos rojos forman un camino cerrado que pasa por los 5 puntos dados. (De manera similar para los segmentos azules.) b.) Da un plan de cómo pintar los segmentos de rojo o de azul para que se cumpla la condición (ningún triángulo con lados del mismo color).