6 Sean $\alpha_1,\ldots,\alpha_d,\beta_1,\ldots,\beta_e\in\mathbb{C}$ tales que los polinomios $f_1(x) =\prod_{i=1}^d(x-\alpha_i)$ y $f_2(x) =\prod_{i=1}^e(x-\beta_i)$ tienen coeficientes enteros. Suponga que existen polinomios $g_1, g_2 \in\mathbb{Z}[x]$ tales que $f_1g_1 +f_2g_2 = 1$ . Demuestre que $\left|\prod_{i=1}^d \prod_{j=1}^e (\alpha_i - \beta_j)\right|=1$ Jorge

3 Sean $1\le a_1<a_2<\cdots<a_\ell\le n$ enteros con $\ell>\frac{n+1}{2}$ . Demuestre que existen $i,j,k$ con $1\le i<j<k\le\ell$ tales que $a_i+a_j=a_k$ .

1 Sean $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ números reales positivos tales que $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}<1$ . Demuestre que \[ \frac{a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \left[ 1 - (a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}) \right] }{(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( 1 - a_{1})(1 - a_{2}) \cdots (1 - a_{n})} \leq \frac{1}{ n^{n+1}}. \]

A5 Una maga pretende realizar el siguiente truco. Anuncia al público un entero positivo $n$ , junto con $2n$ números reales $x_1 < \dots < x_{2n}$ . Un miembro del público elige entonces en secreto un polinomio $P(x)$ de grado $n$ con coeficientes reales, calcula los $2n$ valores $P(x_1), \dots , P(x_{2n})$ y escribe estos $2n$ valores en la pizarra en orden no decreciente. Después, la maga anuncia al público el polinomio secreto. ¿Puede la maga hallar una estrategia para realizar tal truco?

6 Sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $AB$ y $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $MN||AC$ . Los puntos $M'$ y $N'$ son las reflexiones de $M$ y $N$ respecto a $BC$ y $AB$ , respectivamente. Sea $X$ la intersección de $M'A$ con $BC$ , y sea $Y$ la intersección de $N'C$ con $AB$ . Demuestre que $A,C,X,Y$ son concíclicos.

A5 Allen y Alan juegan un juego. Un polinomio no constante $P(x,y)$ con coeficientes reales y un entero positivo $d$ mayor que el grado de $P$ son conocidos tanto por Allen como por Alan. Alan piensa en un polinomio $Q(x,y)$ con coeficientes reales y grado a lo sumo $d$ y lo mantiene en secreto. Allen puede hacer consultas de la forma $(s,t)$ , donde $s$ y $t$ son números reales tales que $P(s,t)\neq0$ . Alan debe responder con el valor $Q(s,t)$ . El objetivo de Allen es determinar si $P$ divide a $Q$ . Halle (en términos de $P$ y $d$ ) el menor entero positivo, $g$ , tal que Allen pueda lograr siempre este objetivo haciendo no más de $g$ consultas. Linus Tang

3 Dado un pentágono inscrito $ABCDE$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$. La recta $\ell$ pasa por el vértice $A$ y es tangente a $\Gamma$. Los puntos $X,Y$ están sobre $\ell$ de modo que $A$ está entre $X$ y $Y$. La circunferencia circunscrita del triángulo $XED$ corta al segmento $AD$ en $Q$, y la circunferencia circunscrita del triángulo $YBC$ corta al segmento $AC$ en $P$. Las rectas $XE,YB$ se cortan entre sí en $S$, y las rectas $XQ, Y P$ en $Z$. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $XY Z$ y $BES$ son tangentes.

2 En un grupo de clasificación con $15$ equipos de voleibol, cada equipo juega con todos los demás exactamente una vez. Como no hay empates en voleibol, en cada partido hay un ganador. Después de jugados todos los partidos, un equipo se clasificaría si su número total de derrotas no excede a $N$ . Si hay al menos $7$ equipos clasificados, halle el menor valor posible de $N$ .

4 $p(x)\in \mathbb{C}[x]$ es un polinomio tal que $\forall z\in \mathbb{C}, |z|=1\Longrightarrow p(z)\in \mathbb{R}$ . Demuestre que $p(x)$ es constante.

G1 Sean $P$ y $Q$ puntos en el segmento $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ tales que $\angle PAB=\angle BCA$ y $\angle CAQ=\angle ABC$ . Sean $M$ y $N$ los puntos en $AP$ y $AQ$ , respectivamente, tales que $P$ es el punto medio de $AM$ y $Q$ es el punto medio de $AN$ . Demuestre que la intersección de $BM$ y $CN$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Propuesto por Giorgi Arabidze, Georgia.