2 Sea ${a_n}$ una sucesión no creciente de números positivos. Demuestre que si para $n \ge 2001$ , $na_{n} \le 1$ , entonces para cualquier entero positivo $m \ge 2001$ y $x \in \mathbb{R}$ se cumple la desigualdad siguiente: $\left | \sum_{k=2001}^{m} a_{k} \sin kx \right | \le 1 + \pi$

3 Dados $a$ , $b$ enteros positivos mayores que $1$ , tales que para todo entero positivo $n$ , $b^{n}-1$ divide a $a^{n}-1$ . Defina el polinomio $p_{n}(x)$ como sigue: $p_0{x}=-1$ , $p_{n+1}(x)=b^{n+1}(x-1)p_{n}(bx)-a(b^{n+1}-1)p_{n}(x)$ , para $n \ge 0$ . Demuestre que existen un entero $C$ y un entero positivo $k$ tales que $p_{k}(x)=Cx^k$ .

1 Dado cualquier entero impar $n>3$ que no es divisible por $3$ , determine si es posible llenar una cuadrícula de $n \times n$ con $n^2$ enteros de modo que (cada celda se llena con un número, y el número en la intersección de la $i$ - ésima fila y la $j$ - ésima columna se denota por $a_{ij}$ ) : $\cdot$ Cada fila y cada columna contiene una permutación de los números $0,1,2, \cdots, n-1$ . $\cdot$ Los pares $(a_{ij},a_{ji})$ para $i<j$ son todos distintos.

3 $$F(x)=x^{6}+15x^{5}+85x^{4}+225x^{3}+274x^{2}+120x+1$$

2 En el triángulo equilátero $\bigtriangleup ABC$ , $D$ es un punto del lado $BC$ . $O_1$ e $I_1$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ABD$ respectivamente, y $O_2$ e $I_2$ son el circuncentro y el incentro de $\bigtriangleup ADC$ respectivamente. $O_1I_1$ corta a $O_2I_2$ en $P$ . Halle el lugar geométrico del punto $P$ cuando $D$ se mueve a lo largo de $BC$ .

1 Para un número natural dado $n > 3$ , los números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2}$ satisfacen las condiciones $0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n < x_{n + 1} < x_{n + 2}$ . Halle el valor mínimo posible de \[\frac{(\sum _{i=1}^n \frac{x_{i + 1}}{x_i})(\sum _{j=1}^n \frac{x_{j + 2}}{x_{j + 1}})}{(\sum _{k=1}^n \frac{x_{k + 1} x_{k + 2}}{x_{k + 1}^2 + x_k x_{k + 2}})(\sum _{l=1}^n \frac{x_{l + 1}^2 + x_l x_{l + 2}}{x_l x_{l + 1}})}\] y halle todas las $(n + 2)$ - uplas de números reales $(x_1, x_2, \ldots, x_n, x_{n + 1}, x_{n + 2})$ que dan este valor.

1 Dados siete puntos en un plano, sin tres puntos colineales. Demuestre que siempre es posible dividir estos puntos en los vértices de un triángulo y de un cuadrilátero convexo, sin partes compartidas entre las dos figuras.

2 Halle todos los enteros $n$ que satisfacen $n \geq 2$ y $\dfrac{\sigma(n)}{p(n)-1} = n$ , donde $\sigma(n)$ denota la suma de todos los divisores positivos de $n$ , y $p(n)$ denota el mayor divisor primo de $n$ .

2 Un club de bádminton consta de $2n$ miembros que forman n parejas. El club planea organizar una ronda de partidos de dobles mixtos en la que los cónyuges no jueguen ni juntos ni uno contra el otro. Los requisitos son: $\cdot$ Cada par de miembros del mismo sexo se enfrenta exactamente una vez como oponentes en un partido de dobles mixtos. $\cdot$ Cualesquiera dos miembros de sexos opuestos que no sean cónyuges se encuentran exactamente una vez como pareja y también como oponentes en un partido de dobles mixtos. Dado que $(n,6)=1$ , ¿puede organizar una ronda de partidos de dobles mixtos que cumpla las especificaciones y requisitos anteriores?

3 Sea $X$ un conjunto finito de números reales. Para cualesquiera $x,x' \in X$ con $x<x'$ , definimos una función $f(x,x')$ ; entonces $f$ se denomina función de pares ordenados sobre $X$ . Para cualquier función de pares ordenados $f$ dada sobre $X$ , si existen elementos $x_1 <x_2 <\cdots<x_k$ en $X$ tales que $f(x_1 ,x_2 ) \le f(x_2 ,x_3 ) \le \cdots \le f(x_{k-1} ,x_k )$ , entonces $x_1 ,x_2 ,\cdots,x_k$ se denomina una $f$ - sucesión ascendente de longitud $k$ en $X$ . Análogamente, defina una $f$ - sucesión descendente de longitud $l$ en $X$ . Para enteros $k,l \ge 3$ , sea $h(k,l)$ el menor entero positivo tal que para cualquier conjunto $X$ de $s$ números reales y cualquier función de pares ordenados $f$ sobre $X$ , existe una $f$ - sucesión ascendente de longitud $k$ en $X$ o una $f$ - sucesión descendente de longitud $l$ en $X$ si $s \ge h(k,l)$ . Demuestre: 1. Para $k,l>3,h(k,l) \le h(k-1,l)+h(k,l-1)-1$ ; 2 . $h(k,l) \le \binom{l-2}{k+l-4} +1$ .