8 Se nos dan $ 3^{2k}$ monedas aparentemente idénticas, una de las cuales es falsa, siendo más liviana que las demás. También disponemos de tres balanzas aparentemente idénticas sin pesas, una de las cuales está rota (y produce resultados no relacionados con las situaciones reales). ¿Cómo podemos encontrar la moneda falsa en $ 3k+1$ pesadas?

2 Las columnas de un tablero de $ n\times n$ están etiquetadas de $ 1$ a $ n$ . Los números $ 1,2,...,n$ se colocan en el tablero de modo que los números en cada fila y columna son distintos dos a dos. Llamamos a una casilla "buena" si el número que contiene es mayor que la etiqueta de su columna. ¿Para qué $ n$ existe una distribución en la que cada fila contiene igual cantidad de casillas buenas?

4 Las sucesiones $ (a_n),(b_n)$ están definidas por $ a_1=1,b_1=2$ y \[a_{n + 1} = \frac {1 + a_n + a_nb_n}{b_n}, \quad b_{n + 1} = \frac {1 + b_n + a_nb_n}{a_n}.\] Demuestre que $ a_{2008} < 5$ .

2 Los números $ a,b,c$ son tales que la ecuación $ x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene tres raíces reales. Demuestre que si $ - 2\leq a + b + c\leq 0$ , entonces al menos una de estas raíces pertenece al segmento $ [0,2]$

3 Dado un conjunto finito $ P$ de números primos, demuestre que existe un entero positivo $ x$ tal que puede escribirse en la forma $ a^p + b^p$ ( $ a,b$ son enteros positivos), para cada $ p\in P$ , y no puede escribirse de esa forma para cada $ p$ que no esté en $ P$ .

1 Los números $ a,b,c$ son tales que la ecuación $ x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene tres raíces reales. Demuestre que si $ - 2\leq a + b + c\leq 0$ , entonces al menos una de estas raíces pertenece al segmento $ [0,2]$

2 Demuestre que existen cuatro enteros $a$ , $b$ , $c$ , $d$ cuyos valores absolutos son todos $>1000000$ y que satisfacen $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}=\frac{1}{abcd}$ . darij

5 Determine todas las ternas de números reales $ x,y,z$ que satisfacen \[1+x^4\leq 2(y-z)^2,\quad 1+y^4\leq 2(x-z)^2,\quad 1+z^4\leq 2(x-y)^2.\]

8 En el plano cartesiano se dibujan varios rectángulos con los lados paralelos a los ejes de coordenadas. Suponga que cualesquiera dos rectángulos pueden ser cortados por una recta vertical o por una recta horizontal. Demuestre que es posible trazar una recta horizontal y una vertical tales que cada rectángulo sea cortado por al menos una de estas dos rectas.

4 Cada cara de un tetraedro puede colocarse en una circunferencia de radio $ 1$ . Demuestre que el tetraedro puede colocarse en una esfera de radio $ \frac{3}{2\sqrt2}$ . Fang-jh