3 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo, y sean $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ y $F_1$ los puntos medios de $AB,BC,CD,$ $DE,EF$ y $FA$, respectivamente. Construya puntos $A_2,B_2,C_2,D_2,E_2$ y $F_2$ en el interior de $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ tales que: 1. Los lados del dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ son todos iguales, y 2. $\angle A_1B_2B_1+\angle C_1D_2D_1+\angle E_1F_2F_1=\angle B_1C_2C_1+\angle D_1E_2E_1+\angle F_1A_2A_1=360^\circ$, donde todos estos ángulos son menores que $180 ^\circ$. Demuestre que $A_2B_2C_2D_2E_2F_2$ es cíclico. Nota: El dodecágono $A_2A_1B_2B_1C_2C_1D_2D_1E_2E_1F_2F_1$ tiene forma de estrella de 6 puntas, donde los vértices son $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ y $F_1$.

5 Sean $A$ y $B$ conjuntos infinitos de números reales positivos tales que: 1. Para cualquier par de elementos $u \ge v$ en $A$, se sigue que $u+v$ es un elemento de $B$. 2. Para cualquier par de elementos $s>t$ en $B$, se sigue que $s-t$ es un elemento de $A$. Demuestre que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, 5r, \dots\}$.

6 Ana y Beto juegan en un pizarrón donde están escritos todos los enteros del 1 al 2024 (inclusive). En cada turno, Ana elige tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y luego Beto los borra y escribe uno de los siguientes números: $$a+b-c, a-b+c, ~\text{or}~ -a+b+c.$$ El juego termina cuando solo quedan dos números en el pizarrón y Ana no puede jugar. Si la suma de los números finales es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, gana Ana. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

1 Halle todos los enteros positivos de cuatro dígitos tales que la suma de los cuadrados de sus dígitos sea igual al doble de la suma de sus dígitos.

4 Sea $n \ge 2$ un entero positivo. Para cada número del $1$ al $n$ hay una carta con ese número, que es negra o blanca. Un mago puede realizar repetidamente el siguiente movimiento: Para cualesquiera dos cartas con número y color distintos, puede reemplazar la carta con el número menor por una idéntica a la otra carta. Por ejemplo, cuando $n=5$ y la configuración inicial es $(1B, 2B, 3W, 4B,5B)$, el mago puede elegir $1B, 3W$ en el primer movimiento para obtener $(3W, 2B, 3W, 4B, 5B)$ y luego $3W, 4B$ en el segundo movimiento para obtener $(4B, 2B, 3W, 4B, 5B)$. Determine, en términos de $n$, todas las longitudes posibles de sucesiones de movimientos desde cualquier configuración inicial posible hasta cualquier configuración en la que ya no sea posible ningún movimiento.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto sobre $AC$ tal que $\angle COF=\angle ACB$, de modo que $F$ y $B$ están en lados opuestos con respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ interseca nuevamente a $\Gamma$ en $M$. Las rectas $CO$ y $MG$ se cortan en $K$. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BGK$ y $AOK$ se cortan sobre $AB$.

1 Un número $x$ es «tlahuica» si existen números primos $p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_k$ tales que \[x=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\dots+\frac{1}{p_k}.\] Halle el mayor número tlahuica $x$ tal que $0<x<1$ y existe un entero positivo $m\leq 2022$ tal que $mx$ es un entero.

6 Halle todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que para todos los enteros positivos $m, n$, $f(m+n)\mid f(m)+f(n)$ y $f(m)f(n) \mid f(mn)$.

1 Halle todos los pares de números reales $(x,y)$ que son soluciones del sistema: $(x^{2}+y^{2})^{2}-xy(x+y)^{2}=19 $ $| x - y | = 1$

2 Los números del $1$ al $2000$ se colocan en los vértices de un polígono regular de $2000$ lados, uno en cada vértice, de modo que se cumple lo siguiente: Si cuatro enteros $A, B, C, D$ satisfacen que $1 \leq A<B<C<D \leq 2000$, entonces el segmento que une los vértices de los números $A$ y $B$ y el segmento que une los vértices de $C$ y $D$ no se intersecan dentro del polígono. Demuestre que existe un cuadrado perfecto tal que el número diametralmente opuesto a él no es un cuadrado perfecto.