4 Sea $a_1, a_2, \ldots$ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos, tal que para cualquier entero positivo $n$ , $a_n$ no es representable en la forma $\sum_{i=1}^{n-1}c_ia_i$ con $c_i \in \{0, 1\}$ . Para todo entero positivo $m$ , sea $f(m)$ el número de $a_i$ que son a lo sumo $m$ . Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m, k$ se tiene que $$f(m) \leq a_k+\frac{m} {k+1}.$$

1 Sea $n$ un entero positivo y sean $p, q>n$ primos impares. Demuestre que los enteros positivos $1, 2, \ldots, n$ pueden colorearse con $2$ colores, de modo que para cualesquiera $x \neq y$ del mismo color, $xy-1$ no sea divisible por $p$ ni por $q$ .

5 Sea $a$ un número real positivo. Demuestre que a) Existe $n\in \mathbb{N}$ con $\frac{\sigma(\varphi(n))}{\varphi(\sigma(n))} > a$ . b) Existe $n\in \mathbb{N}$ con $\frac{\sigma(\varphi(n))}{\varphi(\sigma(n))} < a$ . (Como es habitual, $\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d$ y $\varphi(n)$ es el número de enteros $1\le m\le n$ que son coprimos con $n$ . ) Propuesto por Deniz Can Karaçelebi

6 Sea $n$ un entero positivo. En una recta numérica, Azer está en el punto $0$ en su automóvil, que tiene una capacidad de combustible de $2^n$ unidades e inicialmente está lleno. En cada entero positivo $m$ hay una gasolinera. Azer solo se mueve hacia la derecha a velocidad constante y no se detiene en ningún lugar salvo en las gasolineras. Cada vez que su automóvil se mueve hacia la derecha una cierta cantidad, su combustible disminuye en la misma cantidad. Azer puede elegir detenerse en una gasolinera o pasarla. Hay ladrones en algunas gasolineras. (Una gasolinera puede tener varios ladrones.) Si Azer se detiene en una estación que tiene $k\ge 0$ ladrones mientras su automóvil tiene capacidad de combustible $d$ , la nueva capacidad de combustible de su automóvil pasa a ser $\frac{d}{2^k}$ . Después de eso, Azer llena el tanque de su automóvil y abandona la estación. Halle el número mínimo de ladrones necesarios para garantizar que Azer finalmente se quede sin combustible. Propuesto por Mehmet Can Baştemir y Deniz Can Karaçelebi

1 Para todo par ordenado de enteros $(i,j)$ , no necesariamente positivos, deseamos seleccionar un punto $P_{i,j}$ en el plano cartesiano cuyas coordenadas se encuentren dentro del cuadrado unitario definido por \[ i < x < i+1, \qquad j < y < j+1. \] Halle todos los números reales $c > 0$ para los cuales es posible elegir estos puntos de modo que para todos los enteros $i$ y $j$ , el cuadrilátero (posiblemente cóncavo o degenerado) $P_{i,j} P_{i+1,j} P_{i+1,j+1} P_{i,j+1}$ tenga perímetro estrictamente menor que $c$ . Karthik Vedula

2 Sea $p$ un número primo impar. Suponga que $P$ y $Q$ son polinomios con coeficientes enteros tales que $P(0)=Q(0)=1$ , no existe ningún polinomio no constante que divida a la vez a $P$ y a $Q$ , y \[ 1 + \cfrac{x}{1 + \cfrac{2x}{1 + \cfrac{\ddots}{1 + (p-1)x}}}=\frac{P(x)}{Q(x)}. \] Muestre que todos los coeficientes de $P$ , excepto el coeficiente constante, son divisibles por $p$ , y que ninguno de los coeficientes de $Q$ es divisible por $p$ . Andrew Gu

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia con centro $O$ y sea $E$ la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$ . Sea $\omega_1$ la circunferencia circunscrita de $ADE$ y $\omega_2$ la circunferencia circunscrita de $BCE$ . La tangente a $\omega_1$ en $A$ y la tangente a $\omega_2$ en $C$ se cortan en $P$ . La tangente a $\omega_1$ en $D$ y la tangente a $\omega_2$ en $B$ se cortan en $Q$ . Muestre que $OP=OQ$ . Merlijn Staps

5 Para un entero positivo $k$ , sea $s(k)$ el número de $1$ s en la representación binaria de $k$ . Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ , \[\sum_{i=1}^{n}(-1)^{s(3i)} > 0.\] Holden Mui

7 Una sucesión infinita $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ de números reales satisface \[ a_{2n-1} + a_{2n} > a_{2n+1} + a_{2n+2} \qquad \mbox{and} \qquad a_{2n} + a_{2n+1} < a_{2n+2} + a_{2n+3} \] para todo entero positivo $n$ . Demuestre que existe un número real $C$ tal que $a_{n} a_{n+1} < C$ para todo entero positivo $n$ . Merlijn Staps

8 Sea $ABC$ un triángulo escaleno, y sea $D$ un punto del lado $BC$ que satisface $\angle BAD=\angle DAC$ . Suponga que $X$ e $Y$ son puntos interiores a $ABC$ tales que los triángulos $ABX$ y $ACY$ son semejantes y los cuadriláteros $ACDX$ y $ABDY$ son cíclicos. Las rectas $BX$ y $CY$ se cortan en $S$ , y las rectas $BY$ y $CX$ se cortan en $T$ . Demuestre que las rectas $DS$ y $AT$ son paralelas. Michael Ren