Olimpiada Nacional de Grecia 2006 Problema 1
1 ¿Cuántos enteros positivos de 5 dígitos hay tales que cada uno de sus dígitos, excepto el último, es mayor o igual que el dígito siguiente?
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Olimpiada de Mayo 2002 Problema 3
3 Mustafa compró una alfombra grande. El vendedor midió la alfombra con una regla que se suponía que medía un metro. Resultó que medía $30$ metros de largo por $20$ metros de ancho, y le cobró Rs $120.000$ Rs. Cuando Mustafa llegó a casa, volvió a medir la alfombra y se dio cuenta de que el vendedor le había cobrado de más por $9.408$ Rs. ¿Cuántos centímetros mide la regla que usó el vendedor?
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2011 Problema 3
3 Dado un conjunto $L$ de rectas en posición general en el plano (no hay dos rectas de $L$ paralelas, y no hay tres rectas concurrentes) y otra recta $\ell$ , demuestre que el número total de aristas de todas las caras del correspondiente arreglo, intersecadas por $\ell$ , es a lo sumo $6|L|$ . Chazelle et al., Edelsbrunner et al.
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2011 Problema 2
2 Dado un número primo $p$ congruente con $1$ módulo $5$ tal que $2p+1$ también es primo, demuestre que existe una matriz de $0$ s y $1$ s que contiene exactamente $4p$ (respectivamente, $4p+2$ ) $1$ s, y ninguna submatriz de la cual contenga exactamente $2p$ (respectivamente, $2p+1$ ) $1$ s.
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2010 Problema 1
1 Dado un número entero $n \geq 3$ , considere $n$ puntos distintos sobre una circunferencia, etiquetados de $1$ a $n$ . Determine el número máximo de cuerdas cerradas $[ij]$ , $i \neq j$ , que tengan intersecciones no vacías dos a dos. János Pach
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Olimpiada de los Balcanes 2014 Problema 2
2 Un número especial es un entero positivo \( n \) para el cual existen enteros positivos \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) tales que \[ n = \frac {a^3 + 2b^3} {c^3 + 2d^3}. \] Demuestra que i) hay infinitos números especiales; ii) \( 2014 \) no es un número especial. Rumania
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2010 Problema 5
5 Sean $a$ y $n$ dos números enteros positivos tales que los factores primos (positivos) de $a$ sean todos mayores que $n$ . Demuestre que $n!$ divide a $(a - 1)(a^2 - 1)\cdots (a^{n-1} - 1)$ . AMM Magazine
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2010 Problema 4
4 Sea $n$ un número entero mayor o igual que $2$ , y sea $K$ un conjunto convexo cerrado de área mayor o igual que $n$ , contenido en el cuadrado abierto $(0, n) \times (0, n)$ . Demuestre que $K$ contiene algún punto del retículo entero $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . Marius Cavachi
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2010 Problema 3
3 Dado un entero positivo $a$ , demuestre que $\sigma(am) < \sigma(am + 1)$ para infinitos enteros positivos $m$ . (Aquí $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores positivos del número entero positivo $n$ . ) Vlad Matei
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Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 2010 Problema 4
4 Sean $X$ e $Y$ dos subconjuntos finitos del intervalo semicerrado $[0, 1)$ tales que $0 \in X \cap Y$ y $x + y = 1$ para ningún $x \in X$ y ningún $y \in Y$ . Demuestre que el conjunto $\{x + y - \lfloor x + y \rfloor : x \in X \textrm{ and } y \in Y\}$ tiene al menos $|X| + |Y| - 1$ elementos. ***
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