A1 Encuentra todas las funciones $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ , \[xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x)).\] Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

. El producto de $2021$ enteros positivos es $110$ , y su suma es $2046$ . ¿Cuál es el mayor de estos números? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $10$ & (B) $55$ & (C) $110$ & (D) $22$ & (E) $2008$ \end{tabular} P2. Incluso cuando un camello tiene sed, el $84\%$ de su peso es agua. Después de beber, su peso se convierte en $800kg$ , y el agua constituye el $85\%$ de su peso. ¿Cuánto pesa el camello cuando tiene sed? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $760kg$ & (B) $780kg$ & (C) $715kg$ & (D) $720kg$ & (E) $750kg$ \end{tabular} P3. ¿Qué cifra debe reemplazar a $*$ para que el número $567*80$ sea divisible por $36$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $5$ & (C) $3$ & (D) $2$ & (E) $1$ \end{tabular} P4. Mamá compró una caja de cubos de azúcar. Los niños se comieron la capa superior formada por $77$ cubos. Luego se comieron una capa lateral formada por $44$ cubos. Finalmente, terminaron con la capa frontal. ¿Cuántos cubos quedaron en la caja? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $240$ & (B) $288$ & (C) $295$ & (D) $300$ & (E) $350$ \end{tabular} P5. Una caja contiene $15$ bolas: rojas, blancas y negras. El número de bolas blancas es $7$ veces el número de bolas rojas. ¿Cuántas bolas negras hay? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $8$ & (B) $5$ & (C) $6$ & (D) $1$ & (E) $7$ \end{tabular} P6. Un balón de fútbol puede verse como un poliedro con $32$ caras: $20$ hexágonos regulares blancos y $12$ pentágonos regulares negros. ¿Cuántos vértices tiene este poliedro? [asy] import graph3; size(6cm); real angle=360*asin(sin(radians(54))/sin(radians(60)))/pi, h; path3[] hex; hex[0]=(1,0,0)--(cos(radians(60)),sin(radians(60)),0)--(cos(radians(120)),sin(radians(120)),0)--(-1,0,0)--(cos(radians(-120)),sin(radians(-120)),0)--(cos(radians(-60)),sin(radians(-60)),0)--cycle; hex[1]=rotate(angle,point(hex[0],0),point(hex[0],1))*hex[0]; hex[2]=rotate(angle,point(hex[0],2),point(hex[0],3))*hex[0]; hex[3]=rotate(angle,point(hex[0],4),point(hex[0],5))*hex[0]; hex[4]=rotate(360-angle,point(hex[1],2),point(hex[1],3))*hex[1]; hex[5]=rotate(360-angle,point(hex[1],4),point(hex[1],5))*hex[1]; hex[6]=rotate(360-angle,point(hex[2],0),point(hex[2],1))*hex[2]; hex[7]=rotate(360-angle,point(hex[2],4),point(hex[2],5))*hex[2]; hex[8]=rotate(360-angle,point(hex[3],0),point(hex[3],1))*hex[3]; hex[9]=rotate(360-angle,point(hex[3],2),point(hex[3],3))*hex[3]; path3 p=rotate(angle,point(hex[0],4),point(hex[0],5))*hex[0]; p=rotate(360-angle,point(p,2),point(p,3))*p; p=rotate(angle,point(p,0),point(p,1))*p; p=rotate(360-angle,point(p,4),point(p,5))*p; p=rotate(angle,point(p,2),point(p,3))*p; h=point(p,0).z; for(int i=0; i<10; ++i){ hex[19-i]=shift(0,0,h)*scale(1,1,-1)*rotate(60,Z)*hex[i];} draw(hex[1]); draw(hex[4]); draw(hex[5]); draw(hex[6]); draw(hex[11]); draw(hex[14]); draw(hex[16]); draw(hex[18]); draw(point(hex[19],0)--point(hex[19],5)); draw(point(hex[11],1)--point(hex[11],2)--point(hex[5],1)); draw(point(hex[8],4)--point(hex[8],3)--point(hex[16],2)); draw(point(hex[15],3)--point(hex[15],4)); draw(point(hex[2],1)--point(hex[2],2)--point(hex[1],1)); draw(surface(point(hex[1],1)--point(hex[1],2)--point(hex[4],1)--point(hex[2],1)--point(hex[2],2)--cycle), black); draw(surface(point(hex[4],3)--point(hex[4],4)--point(hex[14],1)--point(hex[5],3)--point(hex[5],4)--cycle), black); draw(surface(point(hex[8],4)--point(hex[8],3)--point(hex[16],2)--point(hex[11],1)--point(hex[11],2)--cycle), black); draw(surface(point(hex[18],0)--point(hex[18],5)--point(hex[11],5)--point(hex[16],0)--point(hex[16],5)--cycle), black); draw(surface(point(hex[15],3)--point(hex[15],4)--point(hex[4],0)--point(hex[14],3)--point(hex[14],4)--cycle), black); [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $72$ & (B) $90$ & (C) $60$ & (D) $56$ & (E) $52$ \end{tabular} P7. Hay $70$ niños en un campamento de verano. De ellos, $27$ asisten al club de teatro, $32$ cantan en el coro y $22$ practican deportes. En el club de teatro hay $10$ niños del coro; en el coro hay $6$ deportistas; en el club de teatro hay $8$ deportistas; y $3$ deportistas asisten tanto al club de teatro como al coro. ¿Cuántos niños ni cantan en el coro, ni practican deportes, ni asisten al club de teatro? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $0$ & (B) $15$ & (C) $10$ & (D) $22$ & (E) $19$ \end{tabular} P8. Dos lados de un cuadrilátero miden $2$ y $9$ . Una de sus diagonales, de longitud $4$ , lo divide en dos triángulos isósceles. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $17$ & (B) $24$ & (C) $19$ & (D) $22$ & (E) $16$ \end{tabular} P9. El reloj de Kairat adelanta $10$ minutos, pero él cree que atrasa $15$ minutos. El reloj de Maksat atrasa $15$ minutos, pero él cree que adelanta $10$ minutos. Al mirar su reloj, Kairat concluyó que ahora es mediodía. Según Maksat, ¿qué hora es ahora? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $12{:}00$ & (B) $11{:}10$ & (C) $12{:}35$ & (D) $12{:}50$ & (E) $11{:}25$ \end{tabular} P10. Un estudiante leyó la primera mitad de un libro a un ritmo promedio de $20$ páginas por día, y la segunda mitad a $30$ páginas por día. Después de terminar todo el libro, ¿cuál fue el número promedio de páginas leídas por día por el estudiante? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $25$ & (B) $28$ & (C) $26$ & (D) $24$ & (E) $23$ \end{tabular} P11. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $\left|5+\frac{x}{2}\right|+|3+2x|+2x=0$ ? \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $3$ & (B) $1$ & (C) $0$ & (D) $4$ & (E) $2$ \end{tabular} P12. Dieciséis puntos están dispuestos en el plano como se muestra en la figura. ¿Cuántos triángulos pueden formarse con vértices en estos puntos? [asy] size(6cm); for(int i=0; i<4; ++i){ draw((0,i)--(3,i), orange+dashed); draw((i,0)--(i,3), orange+dashed);} for(int i=0; i<4; ++i){ for(int j=0; j<4; ++j){ filldraw(circle((i,j), 1/16), orange);}} [/asy] \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}} (A) $326$ & (B) $516$ & (C) $44$ & (D) $560$ & (E) $246$ \end{tabular}

7 En el triángulo acutángulo $ABC, AB<AC$ , $I$ es su incentro, $D$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $BC$ , y la altura $AH$ corta a $BI,CI$ en $P,Q$ respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $\triangle IPQ$ ; prolongue $AO$ hasta que corte a $BC$ en $L$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle AIL$ corta a $BC$ nuevamente en $N$ . Demuestre que $\frac{BD}{CD}=\frac{BN}{CN}$ .

2 Un ángulo se considera como un punto y dos rayos que salen de él. Halle el mayor valor de $n$ tal que sea posible colocar $n$ ángulos de $60$ grados en el plano de manera que cualquier par de estos ángulos tenga exactamente $4$ puntos de intersección.

G6 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ e incentro $I$ . Los puntos $D,E$ y $F$ sobre los lados $BC,CA$ y $AB$ respectivamente son tales que $BD+BF=CA$ y $CD+CE=AB$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BFD$ y $CDE$ se cortan en $P \neq D$ . Demuestre que $OP=OI$ .

9 En el plano se nos da un conjunto $ E$ de 1991 puntos, y ciertos pares de estos puntos están unidos por un camino. Suponemos que para todo punto de $ E,$ existen al menos 1593 otros puntos de $ E$ con los que está unido por un camino. Demuestre que existen seis puntos de $ E$ tales que cada par de ellos está unido por un camino. Versión alternativa: ¿Es posible hallar un conjunto $ E$ de 1991 puntos del plano y caminos que unan ciertos pares de puntos de $ E$ tales que todo punto de $ E$ esté unido por un camino con al menos 1592 otros puntos de $ E,$ y que en todo subconjunto de seis puntos de $ E$ existan al menos dos puntos no unidos?

2 Halle todos los $4$ números pares consecutivos tales que la suma de sus cuadrados divida al cuadrado de su producto.

1 El Profesor Oak alimenta a sus $100$ Pokémon. Cada Pokémon tiene un cuenco cuya capacidad es un número real positivo de kilogramos. Estas capacidades son conocidas por el Profesor Oak. La capacidad total de todos los cuencos es de $100$ kilogramos. El Profesor Oak distribuye $100$ kilogramos de comida de modo que cada Pokémon reciba un número entero no negativo de kilogramos de comida (que puede ser mayor que la capacidad del cuenco). El nivel de insatisfacción de un Pokémon que recibió $N$ kilogramos de comida y cuyo cuenco tiene una capacidad de $C$ kilogramos es igual a $\lvert N-C\rvert$ . Halle el menor número real $D$ tal que, independientemente de las capacidades de los cuencos, el Profesor Oak pueda distribuir la comida de modo que la suma de los niveles de insatisfacción de los $100$ Pokémon sea a lo sumo $D$ . Oleksii Masalitin, Ucrania

3 Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el menor entero posible que podría ser la diferencia común de dicha progresión aritmética.

A3 Sean $P(x), Q(x)$ polinomios distintos de grado $2020$ con coeficientes no nulos. Supón que tienen $r$ raíces reales comunes contando multiplicidad y $s$ coeficientes comunes. Determina el valor máximo posible de $r + s$. Demetres Christofides, Chipre