Sean $a,b,c>0$ que satisfacen que para todos los enteros $n$ , tenemos $$\lfloor an\rfloor+\lfloor bn\rfloor=\lfloor cn\rfloor$$ Demuestre que al menos uno de $a,b,c$ es un entero.

Sean $a,b,a_2,\ldots,a_{n-2}$ números reales con $ab\ne0$ tales que todas las raíces de la ecuación $$ax^n-ax^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-2}x^2-n^2bx+b=0$$ son positivas y reales. Demuestre que estas raíces son todas iguales.

Se da una pirámide triangular regular $ABCD$ con lado de la base $AB=a$ y arista lateral $AD=b$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. Una recta $\alpha$ que pasa por $MN$ interseca las aristas $AD$ y $BC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. (a) Demuestre que $AP/AD=BQ/BC$ . (b) Halle la razón $AP/AD$ que minimiza el área de $MQNP$ .

Determine todos los números naturales $n$ para los cuales existe una permutación $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ de los números $0,1,\ldots,n-1$ tal que, si $b_i$ es el resto de $a_1a_2\cdots a_i$ al dividirlo por $n$ para $i=1,\ldots,n$ , entonces $(b_1,b_2,\ldots,b_n)$ es también una permutación de $0,1,\ldots,n-1$ .

Sea dada una pirámide $SABCD$ cuya base $ABCD$ es un paralelogramo. Sea $N$ el punto medio de $BC$ . Un plano $\lambda$ interseca las rectas $SC,SA,AB$ en los puntos $P,Q,R$ respectivamente, tales que $\overline{CP}/\overline{CS}=\overline{SQ}/\overline{SA}=\overline{AR}/\overline{AB}$ . Un punto $M$ sobre la recta $SD$ es tal que la recta $MN$ es paralela a $\lambda$ . Demuestre que el lugar geométrico de los puntos $M$ , cuando $\lambda$ toma todas las posiciones posibles, es un segmento de longitud $\frac{\sqrt5}2SD$ .

Sea $0<x_i<1$ y $x_i+y_i=1$ para $i=1,2,\ldots,n$ . Demuestre que $$(1-x_1x_2\cdots x_n)^m+(1-y_1^m)(1-y_2^m)\cdots(1-y_n^m)>1$$ para cualesquiera números naturales $m$ y $n$ .

Se dan puntos $P_1,P_2,\ldots,P_n,Q$ en el espacio $(n\ge4)$ , de los cuales no hay cuatro en un plano. Demuestre que si para cualesquiera tres puntos distintos $P_\alpha,P_\beta,P_\gamma$ existe un punto $P_\delta$ tal que el tetraedro $P_\alpha P_\beta P_\gamma P_\delta$ contiene al punto $Q$ , entonces $n$ es un número par.

Se dan $n$ circunferencias unitarias en un plano. Demuestre que en una de las circunferencias hay un arco de longitud al menos $\frac{2\pi}n$ que no interseca ninguna otra circunferencia.

En un prisma regular de $2n$ lados, las bases $A_1A_2\cdots A_{2n}$ y $B_1B_2\cdots B_{2n}$ tienen circunradios iguales a $R$ . Si la longitud de la arista lateral $A_1B_1$ varía, el ángulo entre la recta $A_1B_{n+1}$ y el plano $A_1A_3B_{n+2}$ es máximo para $A_1B_1=2R\cos\frac\pi{2n}$ .

Halle todos los valores de los parámetros $a,b$ para los cuales el polinomio $$x^4+(2a+1)x^3+(a-1)^2x^2+bx+4$$ puede escribirse como producto de dos polinomios cuadráticos mónicos $\Phi(x)$ y $\Psi(x)$ , tales que la ecuación $\Psi(x)=0$ tiene dos raíces distintas $\alpha,\beta$ que satisfacen $\Phi(\alpha)=\beta$ y $\Phi(\beta)=\alpha$ .