A6 Supón que cada uno de los vértices de $ABC$ es un punto de la red en el plano $xy$, y que hay exactamente un punto de la red $P$ en el interior del triángulo. La recta $AP$ se prolonga hasta cortar a $BC$ en $E$. Determina el mayor valor posible para la razón de longitudes de los segmentos $$\frac{|AP|}{|PE|}.$$

A3 Encuentra $$ \lim_{t\to \infty} e^{-t} \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \frac{e^x -e^y }{x-y} \,dx\,dy, $$ o demuestra que el límite no existe.

A1 Sean $b$ y $c$ números reales fijos y supongamos que los diez puntos $(j,y_j)$ para $j=1,2,\ldots,10$ están sobre la parábola $y =x^2 +bx+c.$ Para $j=1,2,\ldots, 9$ sea $I_j$ la intersección de las tangentes a la parábola dada en $(j, y_j)$ y $(j+1, y_{j+1}).$ Determina la función polinomial $y=g(x)$ de menor grado cuya gráfica pase por los nueve puntos $I_j.$

Sean $r$ y $s$ enteros positivos. Deriva una fórmula para el número de cuádruplas ordenadas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos tales que $$3^r \cdot 7^s = \text{mcm}(a,b,c)= \text{mcm}(a,b,d)=\text{mcm}(a,c,d)=\text{mcm}(b,c,d),$$ que dependa solo de $r$ y $s.$

A3 Evalúa $$ \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1+(\tan x)^{\sqrt{2}}}\,. $$

A4 a) Demuestra que existen enteros \( a, b, c \) no todos cero y cada uno de valor absoluto menor que un millón, tales que \[ |a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}| < 10^{-11}. \] b) Sean \( a, b, c \) enteros, no todos cero y cada uno de valor absoluto menor que un millón. Demuestra que \[ |a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3}| > 10^{-21}. \]

B6 Sea $C$ un círculo unitario fijo en el plano cartesiano. Para cualquier polígono convexo $P$, cada uno de cuyos lados es tangente a $C$, sea $N(P, h, k)$ el número de puntos comunes a $P$ y al círculo unitario con centro en $(h, k)$. Sea $H(P)$ la región de todos los puntos $(x, y)$ para los cuales $N(P, x, y) \geq 1$, y sea $F(P)$ el área de $H(P)$. Encuentra el número más pequeño $u$ tal que $$ \frac{1}{F(P)} \int \int N(P,x,y)\;dx \;dy < u $$ para todos los polígonos $P$, donde la integral doble se toma sobre $H(P)$.

A4 Sea $A$ un conjunto de $2n$ puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Supón que $n$ de ellos están coloreados de rojo y los $n$ restantes de azul. Demuestra o refuta: existen $n$ segmentos de recta cerrados, sin que dos tengan un punto en común, tales que los extremos de cada segmento son puntos de $A$ de colores distintos.

A5 Denota por $\lceil x \rceil$ el mayor entero menor o igual que $x$ y por $S(x)$ la sucesión $\lceil x \rceil, \lceil 2x \rceil, \lceil 3x \rceil, \dots.$ Demuestra que existen soluciones reales distintas $\alpha$ y $\beta$ de la ecuación $$x^3-10x^2+29x-25=0$$ tales que infinitos enteros positivos aparecen tanto en $S(\alpha)$ como en $S(\beta).$

A5 Sea $P(t)$ un polinomio no constante con coeficientes reales. Demuestra que el sistema de ecuaciones simultáneas $$ \int_{0}^{x} P(t)\sin t \, dt =0, \;\;\;\; \int_{0}^{x} P(t) \cos t \, dt =0 $$ tiene solamente un número finito de soluciones $x.$