1 Coloque los números $ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ en los vértices de un cuboide de modo que la suma de cualesquiera $ 3$ números situados en una cara no sea menor que $ 10$ . Halle la menor suma posible de los 4 números situados en una cara.

2 Sean $ a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ números reales, en número de $ 2n$ , que satisfacen la condición $ \sum_{i = 1}^{2n - 1} (a_{i + 1} - a_i)^2 = 1$ . Halle el mayor valor posible de $ (a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{2n}) - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)$ .

4 Dado que la suma de las distancias desde un punto $ P$ del interior de un cuadrilátero convexo $ ABCD$ a los lados $ AB, BC, CD, DA$ es constante, demuestre que $ ABCD$ es un paralelogramo.

1 La sucesión $ \{a_n\}$ satisface $ a_0 = 0, a_{n + 1} = ka_n + \sqrt {(k^2 - 1)a_n^2 + 1}, n = 0, 1, 2, \ldots$ , donde $ k$ es un entero positivo fijo. Demuestre que todos los términos de la sucesión son enteros y que $ 2k$ divide a $ a_{2n}, n = 0, 1, 2, \ldots$ .

7 Sean $m$ y $n$ enteros positivos para los cuales $n\leq m\leq 2n$ . Halle el número de todas las soluciones complejas $(z_1,z_2,...,z_m)$ que satisfacen $$z_1^7+z_2^7+...+z_m^7=n$$ tales que $z_k^3-2z_k^2+2z_k-1=0$ para todo $k=1,2,...,m$ .

1 La sucesión $\{a_n\}_{n}$ satisface las relaciones $a_1=a_2=1$ y, para todo entero positivo $n$ , \[ a_{n+2} = \frac 1{a_{n+1}} + a_n . \] Halle $a_{2004}$ . Valentin

3 Sea $ n$ un entero positivo dado. Halle el menor entero positivo $ u_n$ tal que, para cualquier entero positivo $ d$ , entre cualesquiera $ u_n$ enteros positivos impares consecutivos, el número de ellos divisibles por $ d$ no sea menor que el número de enteros impares entre $ 1, 3, 5, \ldots, 2n - 1$ divisibles por $ d$ .

2 En el cuadrilátero convexo $ ABCD$ se puede inscribir una circunferencia. La circunferencia inscrita toca los lados $ AB, BC, CD, DA$ en $ A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los puntos $ E, F, G, H$ son los puntos medios de $ A_1B_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1A_1$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $ EFGH$ es un rectángulo si y solo si $ A, B, C, D$ son concíclicos.

3 Los números no negativos $ x_1, x_2, \ldots, x_5$ satisfacen $ \sum_{i = 1}^5 \frac {1}{1 + x_i} = 1$ . Demuestre que $ \sum_{i = 1}^5 \frac {x_i}{4 + x_i^2} \leq 1$ .

1 Halle todos los enteros positivos $ n$ tales que $ n^4-4n^3+22n^2-36n+18$ es un cuadrado perfecto. Fang-jh