6 Un círculo está circunscrito alrededor de un triángulo isósceles cuyos dos ángulos congruentes tienen medida en grados $x$. Se eligen dos puntos de manera independiente y uniforme al azar sobre el círculo, y se traza una cuerda entre ellos. La probabilidad de que la cuerda interseque al triángulo es $\frac{14}{25}$. Encuentra la diferencia entre los valores más grande y más pequeño posibles de $x$.

Para enteros no negativos \(a\) y \(b\) con \(a + b \leq 6\), sea \(T(a, b) = \binom{6}{a} \binom{6}{b} \binom{6}{a + b}\). Sea \(S\) la suma de todos los \(T(a, b)\), donde \(a\) y \(b\) son enteros no negativos con \(a + b \leq 6\). Encuentra el residuo cuando \(S\) se divide entre \(1000\).

Se eligen dos números reales $a$ y $b$ de manera independiente y uniformemente al azar del intervalo $(0, 75)$. Sean $O$ y $P$ dos puntos en el plano con $OP = 200$. Sean $Q$ y $R$ en el mismo lado de la recta $OP$ tales que las medidas en grados de $\angle POQ$ y $\angle POR$ son $a$ y $b$ respectivamente, y $\angle OQP$ y $\angle ORP$ son ambos ángulos rectos. La probabilidad de que $QR \leq 100$ es igual a $\frac{m}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $m + n$.

Un mazo especial de cartas contiene \(49\) cartas, cada una etiquetada con un número del \(1\) al \(7\) y coloreada con uno de siete colores. Cada combinación número-color aparece exactamente en una carta. Sharon elegirá un conjunto de ocho cartas del mazo al azar. Dado que obtiene al menos una carta de cada color y al menos una carta con cada número, la probabilidad de que Sharon pueda descartar una de sus cartas y aún así tener al menos una carta de cada color y al menos una carta con cada número es \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son enteros positivos relativamente primos. Encuentra \(p+q\).

10 El rectángulo $ABCD$ tiene longitudes de lado $AB=84$ y $AD=42$. El punto $M$ es el punto medio de $\overline{AD}$, el punto $N$ es el punto de trisección de $\overline{AB}$ más cercano a $A$, y el punto $O$ es la intersección de $\overline{CM}$ y $\overline{DN}$. El punto $P$ se encuentra sobre el cuadrilátero $BCON$, y $\overline{BP}$ biseca el área de $BCON$. Encuentra el área de $\triangle{CDP}$.

Considera los arreglos de los $9$ números $1, 2, 3, \dots, 9$ en una matriz de $3 \times 3$. Para cada uno de estos arreglos, sean $a_1$, $a_2$ y $a_3$ las medianas de los números en las filas $1$, $2$ y $3$ respectivamente, y sea $m$ la mediana de $\{a_1, a_2, a_3\}$. Sea $Q$ el número de arreglos para los cuales $m = 5$. Encuentra el residuo cuando $Q$ se divide entre $1000$.

12. El círculo \(C_0\) tiene radio \(1\), y el punto \(A_0\) es un punto sobre el círculo. El círculo \(C_1\) tiene radio \(r<1\) y es internamente tangente a \(C_0\) en el punto \(A_0\). El punto \(A_1\) está sobre el círculo \(C_1\) de modo que \(A_1\) se encuentra \(90^{\circ}\) en sentido contrario a las manecillas del reloj desde \(A_0\) en \(C_1\). El círculo \(C_2\) tiene radio \(r^2\) y es internamente tangente a \(C_1\) en el punto \(A_1\). De esta manera se construyen una sucesión de círculos \(C_1,C_2,C_3,\ldots\) y una sucesión de puntos sobre los círculos \(A_1,A_2,A_3,\ldots\), donde el círculo \(C_n\) tiene radio \(r^n\) y es internamente tangente al círculo \(C_{n-1}\) en el punto \(A_{n-1}\), y el punto \(A_n\) está sobre \(C_n\) a \(90^{\circ}\) en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el punto \(A_{n-1}\), como se muestra en la figura siguiente. Hay un punto \(B\) dentro de todos estos círculos. Cuando \(r=\frac{11}{60}\), la distancia desde el centro de \(C_0\) hasta \(B\) es \(\frac{m}{n}\), donde \(m\) y \(n\) son enteros positivos primos relativos. Encuentra \(m+n\). [asy] size(6cm); real r = 0.8; pair nthCircCent(int n){ pair ans = (0, 0); for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += rotate(90 * i - 90) * (r^(i - 1) - r^i, 0); return ans; } void dNthCirc(int n){ draw(circle(nthCircCent(n), r^n)); } dNthCirc(0); dNthCirc(1); dNthCirc(2); dNthCirc(3); dot("$A_0$", (1, 0), dir(0)); dot("$A_1$", nthCircCent(1) + (0, r), dir(135)); dot("$A_2$", nthCircCent(2) + (-r^2, 0), dir(0)); [/asy]

13 Para cada $m \geq 2$, sea $Q(m)$ el menor entero positivo con la siguiente propiedad: Para todo $n \geq Q(m)$, siempre existe un cubo perfecto $k^3$ en el rango $n < k^3 \leq m \cdot n$. Encuentra el residuo cuando \[ \sum_{m = 2}^{2017} Q(m) \] se divide entre 1000.

4 Halle todas las funciones $f:(0,\infty)\mapsto\mathbb{R}$ tales que $\displaystyle{(y^2+1)f(x)-yf(xy)=yf\left(\frac{x}{y}\right),}$ para todo $x,y>0$ .

14 Una cuadrícula de puntos de $10\times 10\times 10$ consiste en todos los puntos del espacio de la forma $(i,j,k)$, donde $i$, $j$ y $k$ son enteros entre $1$ y $10$, inclusive. Encuentra el número de rectas diferentes que contienen exactamente $8$ de estos puntos.