1 Sean $n \in \mathbb{N}^+,$ $x_1,x_2,...,x_{n+1},p,q\in \mathbb{R}^+ $ , $p<q$ y $x^p_{n+1}>\sum_{i=1}^{n}x^p_{i}.$ Demuestre que $(1)x^q_{n+1}>\sum_{i=1}^{n}x^q_{i};$ $(2)\left(x^p_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}x^p_{i}\right)^{\frac{1}{p}}<\left(x^q_{n+1}-\sum_{i=1}^{n}x^q_{i}\right)^{\frac{1}{q}}.$

2 En el triángulo acutángulo $ABC$ ( $AB \neq AC$ ) , $I$ es su incentro y $J$ es el $A$ - excentro. $X, Y$ están sobre los arcos menores $\widehat{AB}$ y $\widehat{AC}$ respectivamente, tales que $\angle{AXI}=\angle{AYJ}=90^{\circ}$ . $K$ está sobre la recta $BC$ tal que $KI=KJ$ . Demuestre que la recta $AK$ biseca a $\overline{XY}$ .

3 Halle el menor entero positivo $n$ tal que se pueda colorear cada celda de una cuadrícula de $n \times n$ de rojo, amarillo o azul satisfaciendo todas las condiciones siguientes: (1) el número de celdas coloreadas de cada color es el mismo; (2) si una fila contiene una celda roja, esa fila debe contener una celda azul y no puede contener una celda amarilla; (3) si una columna contiene una celda azul, debe contener una celda roja pero no puede contener una celda amarilla.

4 Llame "sucesión CGMO" a una sucesión de enteros positivos $(a_n)_{n \ge 1}$ si $(a_n)_{n \ge 1}$ es estrictamente creciente y, para todo entero $n \ge 2022$ , $a_n$ es el menor entero tal que existe un subconjunto no vacío de $\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n-1} \}$ $A_n$ para el cual $a_n \cdot \prod\limits_{a \in A_n} a$ es un cuadrado perfecto. Demuestre: existen $c_1, c_2 \in \mathbb{R}^{+}$ tales que para cualquier "sucesión CGMO" $(a_n)_{n \ge 1}$ , existe un entero positivo $N$ que satisface que para todo $n \ge N$ , $c_1 \cdot n^2 \le a_n \le c_2 \cdot n^2$ .

1 Muestre que solo hay finitamente muchas ternas $ (x,y,z)$ de enteros positivos que satisfacen la ecuación $ abc=2009(a+b+c).$

4 Dado un número primo $p\ge 5$ . Halle el número de restos distintos módulo $p$ del producto de tres enteros positivos consecutivos. David-Vieta

5 Dos puntos $K$ y $L$ se eligen dentro del triángulo $ABC$ y un punto $D$ se elige sobre el lado $AB$ . Suponga que $B$ , $K$ , $L$ , $C$ son concíclicos, $\angle AKD = \angle BCK$ y $\angle ALD = \angle BCL$ . Demuestre que $AK = AL$ .

7 En un triángulo acutángulo $ABC$ , $AB \neq AC$ , $O$ es su circuncentro. $K$ es la reflexión de $B$ respecto a $AC$ y $L$ es la reflexión de $C$ respecto a $AB$ . $X$ es un punto dentro de $ABC$ tal que $AX \perp BC, XK=XL$ . Los puntos $Y, Z$ están sobre $\overline{BK}, \overline{CL}$ respectivamente, satisfaciendo $XY \perp CK, XZ \perp BL$ . Demuestre que $B, C, Y, O, Z$ están sobre un círculo.

8 Sean $m, n$ enteros positivos; defina: $f(x)=(x-1)(x^2-1)\cdots(x^m-1)$ , $g(x)=(x^{n+1}-1)(x^{n+2}-1)\cdots(x^{n+m}-1)$ . Muestre que existe un polinomio $h(x)$ de grado $mn$ tal que $f(x)h(x)=g(x)$ , y sus $mn+1$ coeficientes son todos enteros positivos.

1 En el cuadrilátero $ABCD$ , $AB=AD$ , $CB=CD$ , $\angle ABC =90^\circ$ . $E$ , $F$ están sobre $AB$ , $AD$ y $P$ , $Q$ están sobre $EF$ ( $P$ está entre $E, Q$ ) , y satisfacen $\frac{AE}{EP}=\frac{AF}{FQ}$ . $X, Y$ están sobre $CP, CQ$ y satisfacen $BX \perp CP, DY \perp CQ$ . Demuestre que $X, P, Q, Y$ son concíclicos.