2 Encuentra todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que \[ {a^2+b\over b^2-a}\quad\mbox{y}\quad{b^2+a\over a^2-b} \] son ambos enteros.

3 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto sobre el lado $AC$ y $Q$ un punto sobre el lado $AB$ de modo que ambos triángulos $ABP$ y $ACQ$ sean agudos. Sea $R$ el ortocentro del triángulo $ABP$ y $S$ el ortocentro del triángulo $ACQ$. Sea $T$ el punto común a los segmentos $BP$ y $CQ$. Encuentra todos los valores posibles de $\angle CBP$ y $\angle BCQ$ tales que el triángulo $TRS$ sea equilátero.

4 Sean $x,y,z$ números positivos tales que \[ {1\over x}+{1\over y}+{1\over z}=1. \] Demuestra que \[ \sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \]

5 Sea ${\bf R}$ el conjunto de todos los números reales. Encuentra todas las funciones $f$ de ${\bf R}$ a ${\bf R}$ que satisfacen: (i) hay solo finitamente muchos $s$ en ${\bf R}$ tales que $f(s)=0$, y (ii) $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))$ para todo $x,y$ en ${\bf R}$.

5 Dada la condición de que existen exactamente $1990$ triángulos $ABC$ con lados de longitud entera que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $\angle ABC =\frac 12 \angle BAC;$ (ii) $AC = b.$ Encuentra el valor mínimo de $b.$ Amir

A1 Denota $\mathbb{Z}_{>0}=\{1,2,3,...\}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Determina todas las funciones $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para cada entero positivo $n$ , $\hspace{1cm}i) \sum_{k=1}^{n}f(k)$ es un cuadrado perfecto, y $\vspace{0.1cm}$ $\hspace{1cm}ii) f(n)$ divide a $n^3$ . Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

A2 Se tienen reales positivos $a, b, c$ tales que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$. Demuestra que $\frac{\sqrt{a+\frac{b}{c}}+\sqrt{b+\frac{c}{a}}+\sqrt{c+\frac{a}{b}}}{3}\leq \frac{a+b+c-1}{\sqrt{2}}$. Albania

4 Determine todos los polinomios reales $P$ de grado a lo sumo $22$ para los cuales $$kP (k + 1) - (k + 1)P (k) = k^2 + k + 1$$ para todo $k \in \{1, 2, 3, . . . , 21, 22\}$ .

A4 Sea $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ un polinomio con coeficientes reales y tres raíces reales $\rho_1$ , $\rho_2$ , $\rho_3$ tales que $|\rho_1| < |\rho_2| < |\rho_3|$ . Sea $A$ el punto donde la gráfica de $P(x)$ interseca a $yy'$ y los puntos $B(\rho_1, 0)$ , $C(\rho_2, 0)$ , $D(\rho_3, 0)$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ interseca a $yy'$ por segunda vez en $E$ , encuentra el valor mínimo de la longitud del segmento $EC$ y los polinomios para los cuales se alcanza. Brazitikos Silouanos, Grecia

G1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB=AC$, sea $D$ el punto medio del lado $AC$, y sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$. La tangente a $\gamma$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $E$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABE$. Demuestra que el punto medio del segmento $AO$ está sobre $\gamma$. Propuesto por Sam Bealing, Reino Unido.