9 Sean $x$ y $y$ números reales tales que $\frac{\sin{x}}{\sin{y}} = 3$ y $\frac{\cos{x}}{\cos{y}} = \frac{1}{2}$ . El valor de $\frac{\sin{2x}}{\sin{2y}} + \frac{\cos{2x}}{\cos{2y}}$ se puede expresar en la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos relativos. Encuentra $p + q$ .

10 Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de todos los cuadrados perfectos cuyos últimos tres dígitos en base $10$ son $256$. Sea $\mathcal{T}$ el conjunto de todos los números de la forma $\frac{x-256}{1000}$, donde $x$ está en $\mathcal{S}$. En otras palabras, $\mathcal{T}$ es el conjunto de números que resultan cuando se truncan los últimos tres dígitos de cada número en $\mathcal{S}$. Encuentra el residuo cuando el décimo elemento más pequeño de $\mathcal{T}$ se divide entre $1000$.

Una rana comienza en \(P_0 = (0,0)\) y hace una secuencia de saltos según la siguiente regla: desde \(P_n=(x_n,y_n)\), la rana salta a \(P_{n+1}\), que puede ser cualquiera de los puntos \((x_n+7, y_n+2)\), \((x_n+2,y_n+7)\), \((x_n-5, y_n-10)\) o \((x_n-10,y_n-5)\). Hay \(M\) puntos \((x,y)\) con \(|x|+|y| \le 100\) que pueden ser alcanzados mediante una secuencia de tales saltos. Encuentra el residuo cuando \(M\) se divide entre \(1000\).

12 Sea $\triangle ABC$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $C$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre $\overline{AB}$ con $D$ entre $A$ y $E$ tales que $\overline{CD}$ y $\overline{CE}$ trisecan el ángulo $C$. Si $\frac{DE}{BE} = \frac{8}{15}$, entonces $\tan B$ se puede escribir como $\frac{m\sqrt{p}}{n}$, donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, y $p$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra $m+n+p$.

13 Tres círculos concéntricos tienen radios \(3\), \(4\) y \(5\). Un triángulo equilátero con un vértice en cada círculo tiene lado \(s\). El área máxima posible del triángulo se puede escribir como \(a+\frac{b}{c}\sqrt{d}\), donde \(a,b,c\) y \(d\) son enteros positivos, \(b\) y \(c\) son primos relativos, y \(d\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(a+b+c+d\).

3 En un país, cada 2 ciudades están conectadas ya sea por una ruta de autobús directa o por un vuelo directo. Un *clique* es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades del conjunto están conectadas por un vuelo directo. Un *cluque* es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades del conjunto están conectadas por un vuelo directo, y cada 2 ciudades del conjunto están conectadas al mismo número de ciudades por una ruta de autobús. Un *claque* es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades del conjunto están conectadas por un vuelo directo, y cada 2 números de rutas de autobús desde una ciudad del conjunto son diferentes. Demuestra que el número de ciudades de cualquier clique es a lo más el producto del mayor número posible de ciudades en un cluque y el mayor número posible de ciudades en un claque. Tuymaada 2017 Q3 Juniors

14 En un grupo de nueve personas, cada persona se da la mano con exactamente dos de las otras personas del grupo. Sea N el número de formas en que puede ocurrir este apretón de manos. Considera que dos arreglos de apretones de manos son diferentes si y solo si al menos dos personas que se dan la mano en un arreglo no se dan la mano en el otro arreglo. Encuentra el residuo cuando N se divide entre 1000.

15 Hay $n$ matemáticos sentados alrededor de una mesa circular con $n$ asientos numerados $1,2,3,\cdots,n$ en orden horario. Después de un descanso, se sientan nuevamente alrededor de la mesa. Los matemáticos notan que existe un entero positivo $a$ tal que (1) para cada $k$, el matemático que estaba sentado en el asiento $k$ antes del descanso está sentado en el asiento $ka$ después del descanso (donde el asiento $i+n$ es el asiento $i$); (2) para cada par de matemáticos, el número de matemáticos sentados entre ellos después del descanso, contando tanto en sentido horario como antihorario, es diferente de cualquiera de los números de matemáticos sentados entre ellos antes del descanso. Encuentra el número de valores posibles de $n$ con $1<n<1000$.

1 El frasco A contiene cuatro litros de una solución que es $45\%$ ácido. El frasco B contiene cinco litros de una solución que es $48\%$ ácido. El frasco C contiene un litro de una solución que es $k\%$ ácido. Del frasco C, se agregan $\tfrac{m}{n}$ litros de la solución al frasco A, y el resto de la solución del frasco C se agrega al frasco B. Al final, tanto el frasco A como el frasco B contienen soluciones que son $50\%$ ácido. Dado que $m$ y $n$ son enteros positivos primos relativos, encuentra $k+m+n$.

2 En el rectángulo \(ABCD\), \(AB=12\) y \(BC=10\). Los puntos \(E\) y \(F\) están dentro del rectángulo \(ABCD\) de modo que \(BE=9\), \(DF=8\), \(\overline{BE} \parallel \overline{DF}\), \(\overline{EF} \parallel \overline{AB}\), y la línea \(BE\) interseca al segmento \(\overline{AD}\). La longitud \(EF\) se puede expresar en la forma \(m\sqrt{n}-p\), donde \(m,n\) y \(p\) son enteros positivos y \(n\) no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Encuentra \(m+n+p\).