4. Sea $n$ un entero positivo. Un \emph{pseudo-Gangnam Style} es una competencia de baile entre los jugadores $A$ y $B$ . En el instante $0$ , ambos jugadores miran hacia el norte. Para todo $k\ge 1$ , en el instante $2k-1$ , el jugador $A$ puede elegir quedarse quieto o girar $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj, y el jugador $B$ está obligado a seguirlo; en el instante $2k$ , el jugador $B$ puede elegir quedarse quieto o girar $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj, y el jugador $A$ está obligado a seguirlo. Después del instante $n$ , la música se detiene y la competencia termina. Si la posición final de ambos jugadores es el norte o el este, gana $A$ . Si la posición final de ambos jugadores es el sur o el oeste, gana $B$ . Determine quién tiene una estrategia ganadora cuando: (a) $n=2013^{2012}$ (b) $n=2013^{2013}$

4: Se dan dos círculos concéntricos de radios $R$ y $R_1 > R$ . Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en el círculo menor y sean los rayos $CD, DA, AB, BC$ que cortan al círculo mayor en $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Demuestre que $$ \frac{\sigma(A_1B_1C_1D_1)}{\sigma(ABCD)} \geq \frac{R_1^2}{R^2}$$ donde $\sigma(P)$ denota el área de un polígono $P.$

4. Un día, Iván fue encarcelado por un rey malvado. El rey malvado dijo : «Si puedes determinar correctamente el polinomio en el que estoy pensando, serás libre. Si después de $2014$ intentos no lo adivinas, serás ejecutado.» Iván respondió : «¿Hay alguna pista?» El rey malvado contestó : «Puedo decirte que el polinomio tiene coeficientes reales y es mónico. Además, todas sus raíces son números reales positivos.» Esa noche, un mago bondadoso le dijo el polinomio. El rey, que estaba visitando a Iván, oyó la conversación. Mató al mago. Al día siguiente, Iván olvidó el polinomio, salvo que el coeficiente de $x^{2013}$ es $2014$ y que el término constante es $1$ . ¿Puede Iván garantizar su libertad? Y si es así, ¿en cuántos intentos? (Suponga que Iván es muy desafortunado, de modo que cualquier suposición al azar falla.)

3: Determine todas las soluciones enteras de la ecuación $x^n+y^n=1994$ donde $n\geq 2$

5. Dado $\triangle ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y circuncentro $O$ , sea $X$ un punto sobre $\Gamma$ . Sean $XC_1$ y $XB_1$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $X$ a las rectas $AB$ y $AC$ . Defina $\omega_C$ como la circunferencia con centro en el punto medio de $AB$ y que pasa por $C_1$ . Defina $\omega_B$ de manera análoga. Demuestre que $\omega_B$ y $\omega_C$ tienen un punto común sobre $XO$ .

1 Baron y Peter están jugando un juego. Se les da un grafo finito simple $G$ con $n\ge 3$ vértices y $k$ aristas que conectan los vértices. Primero Peter etiqueta dos vértices A y B, y coloca una ficha en A. Baron empieza. Un movimiento de Baron consiste en mover la ficha a lo largo de una arista. El movimiento de Peter consiste en eliminar una arista del grafo. Baron gana si llega a $B$ ; en caso contrario, gana Peter. Dado el valor de $n$ , ¿cuál es el mayor $k$ para el que Peter siempre puede ganar?

2 Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo. Sean las bisectrices de los ángulos $ \angle B $ y $ \angle C $ que se intersecan en $ E $ . Sea $ AB $ que interseca a $ CD $ en $ F $ . Demuestre que si $ AB+CD=BC $ , entonces $A,D,E,F$ es cíclico.

3 Sean $ a, b, c $ números reales positivos mayores o iguales que $ 3 $ . Demuestre que $$ 3(abc+b+2c)\ge 2(ab+2ac+3bc) $$ y determine todos los casos de igualdad.

5 Navi y Ozna están jugando un juego en el que Ozna empieza y los dos se turnan para hacer movimientos. En la pizarra está escrito un entero positivo. Un movimiento consiste en (i) restarle cualquier entero positivo a lo sumo 2015 o (ii) dado que el entero en el tablero es divisible por $2014$ , dividirlo por $2014$ . La primera persona que convierte el entero en $0$ gana. Para empeorar la situación de Navi, Ozna puede elegir enteros $a$ y $b$ , $a\ge 2015$ , tales que ningún número de la forma $an+b$ sea el entero inicial, donde $n$ es cualquier entero positivo. Halle el número mínimo de enteros iniciales con los que Navi gana.

2 Ruby tiene un entero no negativo $n$ . En cada segundo, Ruby reemplaza el número que tiene por el producto de todos sus dígitos. Demuestre que Ruby eventualmente tendrá un número de un solo dígito o $0$ . (p. ej. $86\rightarrow 8\times 6=48 \rightarrow 4 \times 8 =32 \rightarrow 3 \times 2=6$ ) Propuesto por Wong Jer Ren