En el espacio se dan las rectas que se cruzan $s$ y $t$ tales que $\angle(s,t)=60^\circ$ y un segmento $AB$ perpendicular a ellas. Sobre $AB$ se elige un punto $C$ para el cual $AC:CB=2:1$ , y los puntos $M$ y $N$ se mueven sobre las rectas $s$ y $t$ de tal manera que $AM=2BN$ . El ángulo entre los vectores $\overrightarrow{AM}$ y $\overrightarrow{BM}$ es $60^\circ$ . Demuestre que: (a) el segmento $MN$ es perpendicular a $t$ ; (b) el plano $\alpha$ , perpendicular a $AB$ en el punto $C$ , interseca el plano $CMN$ en una recta fija $\ell$ con dirección dada con respecto a $s$ ; (c) todos los planos que pasan por $ell$ y son perpendiculares a $AB$ intersecan las rectas $s$ y $t$ respectivamente en puntos $M$ y $N$ para los cuales $AM=2BN$ y $MN\perp t$ .

Halle todas las $n$ -adas de reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$ que satisfacen el sistema: $$\begin{cases}x_1x_2\cdots x_n=1\\x_1-x_2x_3\cdots x_n=1\\x_1x_2-x_3x_4\cdots x_n=1\\\vdots\\x_1x_2\cdots x_{n-1}-x_n=1\end{cases}$$

Se dan dos rectas que se intersecan $g_1,g_2$ y un punto $P$ en su plano tales que $\angle(g1,g2)\ne90^\circ$ . Los puntos simétricos de cualquier punto $M$ del mismo plano con respecto a las rectas dadas son $M_1$ y $M_2$ . Demuestre que: (a) el lugar geométrico de los puntos $M$ para los cuales los puntos $M_1,M_2$ y $P$ se encuentran sobre una misma recta es un círculo $k$ que pasa por el punto de intersección de $g_1$ y $g_2$ . (b) el punto $P$ es un ortocentro de un triángulo inscrito en el círculo $k$ cuyos lados se encuentran sobre las rectas $g_1$ y $g_2$ .

Un número de $6n$ cifras es divisible por $7$ . Demuestre que si su última cifra se traslada al principio del número, entonces el nuevo número también es divisible por $7$ .

Sean $a_1,b_1,c_1$ tres rectas tales que cada dos de ellas se cruzan mutuamente y no son paralelas a un mismo plano. Las rectas $a_2,b_2,c_2$ intersecan las rectas $a_1,b_1,c_1$ en los puntos $a_2$ en $A$ , $C_2$ , $B_1$ ; $b_2$ en $C_1$ , $B$ , $A_2$ ; $c_2$ en $B_2$ , $A_1$ , $C$ respectivamente, de tal manera que $A$ es la mediatriz de $B_1C_2$ , $B$ es la mediatriz de $C_1A_2$ y $C$ es la mediatriz de $A_1B_2$ . Demuestre que: (a) $A$ es la mediatriz de $B_2C_1$ , $B$ es la mediatriz de $C_2A_1$ y $C$ es la mediatriz de $A_2B_1$ ; (b) los triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ son iguales.

Halle todos los números de tres cifras tales que, al dividirlos por $11$ , el cociente es igual a la suma de los cuadrados de sus cifras.

Se da la ecuación $x^2+px+1=0$ , con raíces $x_1$ y $x_2$ ; (a) halle una ecuación de segundo grado con raíces $y_1,y_2$ que satisfacen las condiciones $y_1=x_1(1-x_1)$ , $y_2=x_2(1-x_2)$ ; (b) halle todos los valores posibles del parámetro real $p$ tales que las raíces de la nueva ecuación se encuentren entre $-2$ y $1$ .

En el trapecio $ABCD$ se elige un punto $M$ sobre el lado no paralelo $AB$ . Por los puntos $M,A,D$ y $M,B,C$ se trazan las circunferencias $k_1$ y $k_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ . Demuestre que: (a) el segundo punto de intersección $N$ de $k_1$ y $k_2$ se encuentra sobre el otro lado no paralelo $CD$ o sobre su prolongación; (b) la longitud del segmento $O_1O_2$ no depende de la posición de $M$ sobre $AB$ ; (c) los triángulos $O_1MO_2$ y $DMC$ son semejantes. Halle una posición de $M$ sobre $AB$ tal que $k_1$ y $k_2$ tengan el mismo radio.

En el tetraedro $ABCD$ tres de las caras son triángulos rectángulos y la otra no es un triángulo obtusángulo. Demuestre que: (a) la cuarta cara del tetraedro es un triángulo rectángulo si y solo si exactamente dos de los ángulos planos que tienen vértice común con alguno de los vértices del tetraedro son iguales. (b) su volumen es igual a $\frac16$ multiplicado por el producto de las dos aristas más cortas y una arista que no se encuentra en la misma cara.

Se da la expresión $y=\frac{x^2-2x+1}{x^2-2x+2}$ , donde $x$ es una variable. Demuestre que: (a) si $x_1$ y $x_2$ son dos valores de $x$ , e $y_1$ y $y_2$ son los valores respectivos de $y$ , entonces si $x_1<x_2$ , $y_1<y_2$ ; (b) cuando $x$ varía, $y$ alcanza todos los valores posibles para los cuales $0\le y<1$ .