2 Existen números reales $a,b$ y $c$ y un número positivo $\lambda$ tales que $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ tiene tres raíces reales $x_1, x_2$ y $x_3$ que satisfacen $(1) x_2-x_1=\lambda$ $(2) x_3>\frac{1}{2}(x_1+x_2)$ . Halle el valor máximo de $\frac{2a^3+27c-9ab}{\lambda^3}$

3 Antes del torneo de la Copa del Mundo, el entrenador de fútbol del país $F$ hará que siete jugadores, $A_1, A_2, \ldots, A_7$ , participen en tres partidos de entrenamiento (de 90 minutos cada uno) para evaluarlos. Suponga que, en cualquier momento durante un partido, uno y solo uno de ellos está en el campo, y que el tiempo total (medido en minutos) en el campo de cada uno de $A_1, A_2, A_3$ y $A_4$ es divisible por $7$ , mientras que el tiempo total de cada uno de $A_5, A_6$ y $A_7$ es divisible por $13$ . Si no hay restricción sobre el número de sustituciones de jugadores durante cada partido, ¿cuántos casos posibles hay respecto del tiempo total de cada jugador en el campo?

1 Sean $O,H$ el circuncentro y el ortocentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. La recta $AH$ y $BC$ se intersecan en $D,$ la recta $BH$ y $AC$ se intersecan en $E,$ la recta $CH$ y $AB$ se intersecan en $F,$ la recta $AB$ y $ED$ se intersecan en $M,$ y $AC$ y $FD$ se intersecan en $N.$ Demuestre que $(1)OB\perp DF,OC\perp DE;$ $(2)OH\perp MN.$

2 Si los reales no negativos $x_1, x_2, \ldots, x_n$ satisfacen \[ \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2\sum_{1 \leq k < j \leq n} \sqrt{\frac{k}{j}}x_kx_j = 1 \] ¿cuáles son los valores mínimo y máximo de $\sum_{i=1}^n x_i$ ?

1 En el cuadrilátero convexo $ABCD, \angle BAC=\angle CAD.$ $E$ está sobre el segmento $CD$ , y $BE$ y $AC$ se intersecan en $F,$ $DF$ y $BC$ se intersecan en $G.$ Demuestre que $\angle GAC=\angle EAC.$

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales. Sean $z_{1}$ , $z_{2}$ , $z_{3}$ números complejos tales que $|z_{k}|=1$ $(k=1,2,3)$ $~$ y $~$ $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{3}}+\frac{z_{3}}{z_{1}}=1$ . Halle $|az_{1}+bz_{2}+cz_{3}|$ .

3 $n$ es un entero positivo dado, tal que es posible pesar la masa de cualquier producto que pese $1,2,3,\cdots ,ng$ con una balanza de contrapeso sin pesa deslizante y $k$ contrapesos, que pesan $x_ig(i=1,2,\cdots ,k),$ respectivamente, donde $x_i\in \mathbb{N}^*$ para cualquier $i \in \{ 1,2,\cdots ,k\}$ y $x_1\leq x_2\leq\cdots \leq x_k.$ $(1)$ Sea $f(n)$ el menor número posible de $k$ . Halle $f(n)$ en términos de $n.$ $(2)$ Halle todos los posibles valores de $n,$ tales que la sucesión $x_1,x_2,\cdots ,x_{f(n)}$ esté determinada de manera única.

Cada celda de una cuadrícula de \( 100 \times 100 \) contiene un número del \( 1 \) al \( 100^2 \) ; celdas distintas contienen números distintos. Determine el mayor entero \( c \) que satisface la siguiente condición: en toda configuración de este tipo, existen dos números distintos ubicados en la misma fila o en la misma columna que comparten un divisor común mayor o igual que \( c \) . Propuesto por David-Andrei Anghel

Determine todos los polinomios $P{}$ con coeficientes enteros que satisfacen $0 \leqslant P (n) \leqslant n!$ para todo entero no negativo $n$ . Andrei Chirita

Sean \( ABC \) y \( DEF \) dos triángulos inscritos en la misma circunferencia, con centro \( O \) , y que comparten el mismo ortocentro \( H \ne O \) . Las rectas de Simson de los puntos \( D, E, F \) con respecto al triángulo \( ABC \) forman un triángulo no degenerado \( \Delta \) . Demuestre que el ortocentro de \( \Delta \) está sobre la circunferencia de diámetro \( OH \) . Nota. Suponga que los puntos \( A, F, B, D, C, E \) están en este orden sobre la circunferencia y forman un hexágono convexo no degenerado. Propuesto por Andrei Chiriță