3 Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $n$ y $k$ existen enteros positivos $a>b>c>d>e>k$ tales que \[n=\binom{a}{3}\pm\binom{b}{3}\pm\binom{c}{3}\pm\binom{d}{3}\pm\binom{e}{3}\] Radu Ignat Max D.R.

1 Demuestre que la ecuación $x^3+y^3+z^3=t^4$ tiene infinitas soluciones en enteros positivos tales que $\gcd(x,y,z,t)=1$ . Mihai Pitticari & Sorin Rǎdulescu Amir

2 Sea $n\ge 1$ un entero positivo y sean $x_1,x_2\ldots ,x_n$ números reales tales que $|x_{k+1}-x_k|\le 1$ para $k=1,2,\ldots ,n-1$ . Demuestre que \[\sum_{k=1}^n|x_k|-\left|\sum_{k=1}^nx_k\right|\le\frac{n^2-1}{4}\] Gh. Eckstein

1 Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Halle el número de funciones $f:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow\{1,2,3,4,5 \}$ que tienen la siguiente propiedad: $|f(k+1)-f(k)|\ge 3$ , para cualquier $k=1,2,\ldots n-1$ . Vasile Pop

2 Sea ABC un triángulo y sea $M$ un punto interior. Demuestre que \[ \min\{MA,MB,MC\}+MA+MB+MC<AB+AC+BC.\]

10 Un poliedro convexo tiene como caras 12 cuadrados, 8 hexágonos regulares y 6 octágonos regulares. En cada vértice del poliedro se encuentran un cuadrado, un hexágono y un octágono. ¿Cuántos segmentos que unen vértices del poliedro están en el interior del poliedro en lugar de estar a lo largo de una arista o de una cara?

6 Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $m\geq n$ . Hay $m$ pastelitos de diferentes sabores dispuestos alrededor de un círculo y $n$ personas a las que les gustan los pastelitos. Cada persona asigna una puntuación de número real no negativo a cada pastelito, dependiendo de cuánto le guste el pastelito. Suponga que para cada persona $P$ , es posible dividir el círculo de $m$ pastelitos en $n$ grupos de pastelitos consecutivos de modo que la suma de las puntuaciones de $P$ de los pastelitos de cada grupo sea al menos $1$ . Demuestre que es posible repartir los $m$ pastelitos entre las $n$ personas de modo que cada persona $P$ reciba pastelitos de puntuación total al menos $1$ según $P$ . KevinYang2.71

3 Examinamos las siguientes dos sucesiones: La sucesión de Fibonacci: $F_{0}= 0, F_{1}= 1, F_{n}= F_{n-1}+F_{n-2 }$ para $n \geq 2$ ; La sucesión de Lucas: $L_{0}= 2, L_{1}= 1, L_{n}= L_{n-1}+L_{n-2}$ para $n \geq 2$ . Se sabe que para todo $n \geq 0$ \[F_{n}=\frac{\alpha^{n}-\beta^{n}}{\sqrt{5}},L_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n},\] donde $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Estas fórmulas pueden usarse sin demostración. Llamamos a un entero no negativo número $r$ - Fibonacci si es una suma de $r$ números de Fibonacci (no necesariamente distintos). Muestre que hay infinitos enteros positivos que no son números $r$ - Fibonacci para ningún $r, 1 \leq r\leq 5.$ N.T.TUAN

4 Sea $n$ un entero positivo, y sean $a_0,\,a_1,\dots,\,a_n$ enteros no negativos tales que $a_0\ge a_1\ge \dots\ge a_n.$ Demuestre que \[ \sum_{i=0}^n i\binom{a_i}{2}\le\frac{1}{2}\binom{a_0+a_1+\dots+a_n}{2}. \] Nota: $\binom{k}{2}=\frac{k(k-1)}{2}$ para todo entero no negativo $k$ .

3 Las tangentes en $A$ y $B$ a la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ intersecan la tangente en $C$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. La recta $AE$ interseca a $BC$ en $P$ y la recta $BD$ interseca a $AC$ en $R$ . Sean $Q$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AP$ y $BR$ respectivamente. Demuestre que $\angle ABQ=\angle BAS$ .