6 Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que no se superponen. $A,C$ están sobre $\Gamma_1$ y $B,D$ están sobre $\Gamma_2$ tales que $AB$ es una tangente común externa a los dos círculos, y $CD$ es una tangente común interna a los dos círculos. $AC$ y $BD$ se cortan en $E$ . $F$ es un punto sobre $\Gamma_1$ ; la recta tangente a $\Gamma_1$ en $F$ corta a la mediatriz de $EF$ en $M$ . $MG$ es una recta tangente a $\Gamma_2$ en $G$ . Demuestre que $MF=MG$ .

3 Sea $M$ un mapa formado por varias ciudades unidas entre sí por vuelos. Decimos que hay una ruta entre dos ciudades si hay un vuelo sin escalas que une estas dos ciudades. Para cada ciudad de $M$, denotemos por $M_a$ el mapa formado por las ciudades que tienen una ruta hacia ella y las rutas que unen estas ciudades entre sí (la ciudad $a$ no forma parte de $M_a$). Las ciudades de $M_a$ se dividen en dos conjuntos de modo que el número de rutas que unen ciudades de conjuntos distintos sea máximo; llamamos a este número el corte de $M_a$. Supón que para todo corte de $M_a$, este es estrictamente menor que dos tercios del número de rutas de $M_a$. Demuestra que para cualquier coloración de las rutas de $M$ con dos colores, hay tres ciudades de $M$ unidas por tres rutas del mismo color.

1 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ , sea $O$ su circuncentro y $D$ el punto medio del lado $BC$ . La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB,AC$ nuevamente en los puntos $E,F$ respectivamente. La recta que pasa por $D$ paralela a $AO$ corta a $EF$ en $M$ . Muestre que $EM=MF$ .

7 Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n \in(0,1)$ , $n\geq2$ . Demuestre que $$\frac{\sqrt{1-x_1}}{x_1}+\frac{\sqrt{1-x_2}}{x_2}+\cdots+\frac{\sqrt{1-x_n}}{x_n}<\frac{\sqrt{n-1}}{x_1 x_2 \cdots x_n}.$$

8 Sea $n\geq 2$ un entero dado. Inicialmente, escribimos $n$ conjuntos en la pizarra y realizamos una sucesión de movimientos de la siguiente manera: se eligen dos conjuntos $A$ y $B$ de la pizarra tales que ninguno de ellos sea subconjunto del otro, y se reemplazan $A$ y $B$ por $A\cap B$ y $A\cup B$ . Esto se llama un $\textit{move}$ . Determine el número máximo de movimientos en una sucesión para todos los posibles conjuntos iniciales.

1 En la figura de http://www.artofproblemsolving.com/Forum/download/file.php?id=50643&mode=view , $\odot O_1$ y $\odot O_2$ se intersecan en dos puntos $A$ , $B$ . La prolongación de $O_1A$ corta a $\odot O_2$ en $C$ , y la prolongación de $O_2A$ corta a $\odot O_1$ en $D$ ; por $B$ se traza $BE \parallel O_2A$ que interseca a $\odot O_1$ nuevamente en $E$ . Si $DE \parallel O_1A$ , demuestre que $DC \perp CO_2$ .

3 Hay $ n$ estudiantes; cada estudiante conoce exactamente a $d $ estudiantes mujeres y a $d $ estudiantes varones (el "conocer" es una relación simétrica). Determine todos los pares $ (n,d) $ de enteros.

6 En el triángulo acutángulo $ABC$ , $AB > AC$ . $D$ y $E$ son los puntos medios de $AB$ , $AC$ respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ADE$ interseca a la circunferencia circunscrita de $BCE$ nuevamente en $P$ . La circunferencia circunscrita de $ADE$ interseca a la circunferencia circunscrita de $BCD$ nuevamente en $Q$ . Demuestre que $AP = AQ$ .

A2 Para números reales positivos $x,y,z$ con $xy+yz+zx=1$ , demuestre que $$\frac{2}{xyz}+9xyz \geq 7(x+y+z)$$

2 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n $ números reales, donde $n\ge 2$ es un entero dado, y supongamos que $\lfloor{x_1}\rfloor,\lfloor{x_2}\rfloor,\ldots,\lfloor{x_n}\rfloor $ es una permutación de $1,2,\ldots,n$ . Determine el máximo y el mínimo de $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lfloor{x_{i+1}-x_i}\rfloor$ (aquí $\lfloor x\rfloor $ es el mayor entero no mayor que $x$ ) .