Sea $n=p_1p_2\cdots p_s$ , donde $p_1,\ldots,p_s$ son números primos impares distintos. (a) Demuestre que la expresión $$F_n(x)=\prod\left(x^{\frac n{p_{i_1}\cdots p_{i_k}}}-1\right)^{(-1)^k},$$ donde el producto recorre todos los subconjuntos $\{p_{i_1},\ldots,p_{i_k}\}$ de $\{p_1,\ldots,p_s\}$ (incluidos él mismo y el conjunto vacío), puede escribirse como un polinomio en $x$ con coeficientes enteros. (b) Demuestre que si $p$ es un divisor primo de $F_n(2)$ , entonces $p\mid n$ o $n\mid p-1$ .

Dado un arco circular, halle un triángulo del menor área posible que cubra el arco de modo que los extremos del arco se encuentren en el mismo lado del triángulo.

La base $ABC$ de un tetraedro $MABC$ es un triángulo equilátero, y las aristas laterales $MA,MB,MC$ son lados de un triángulo de área $S$ . Si $R$ es el circunradio y $V$ el volumen del tetraedro, demuestre que $RS\ge2V$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Halle todos los parámetros reales $q$ para los cuales existe un $p\in[0,1]$ tal que la ecuación $$x^4+2px^3+(2p^2-p)x^2+(p-1)p^2x+q=0$$ tiene cuatro raíces reales.

Demuestre que la sucesión $(a_n)$ , donde $$a_n=\sum_{k=1}^n\left\{\frac{\left\lfloor2^{k-\frac12}\right\rfloor}2\right\}2^{1-k},$$ converge, y determine su límite cuando $n\to\infty$ .

Demuestre que para todo número primo $p\ge5$ , (a) $p^3$ divide a $\binom{2p}p-2$ ; (b) $p^3$ divide a $\binom{kp}p-k$ para todo número natural $k$ .

Sea $p$ un número real y $f(x)=x^p-x+p$ . Demuestre que: (a) Toda raíz $\alpha$ de $f(x)$ satisface $|\alpha|<p^{\frac1{p-1}}$ ; (b) Si $p$ es un número primo, entonces $f(x)$ no puede escribirse como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

En cada uno de los $n$ puntos dados de una circunferencia se escribe $+1$ o $-1$ . Se realiza la siguiente operación: entre cualesquiera dos números consecutivos de la circunferencia se escribe su producto, y los $n$ números iniciales se borran. Suponga que, para cualquier disposición inicial de $+1$ y $-1$ en la circunferencia, después de un número finito de operaciones todos los números de la circunferencia serán iguales a $+1$ . Demuestre que $n$ es una potencia de dos.

Sean $n$ y $k$ números naturales y $p$ un número primo. Demuestre que si $k$ es el exponente exacto de $p$ en $2^{2^n}+1$ (es decir, $p^k$ divide a $2^{2^n}+1$ , pero $p^{k+1}$ no lo divide), entonces $k$ es también el exponente exacto de $p$ en $2^{p-1}-1$ .

Sea $M$ un punto interior arbitrario de un tetraedro $ABCD$ , y sean $S_A,S_B,S_C,S_D$ las áreas de las caras $BCD,ACD,ABD,ABC$ , respectivamente. Demuestre que $$S_A\cdot MA+S_B\cdot MB+S_C\cdot MC+S_D\cdot MD\ge9V,$$ donde $V$ es el volumen de $ABCD$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?