2 Ciento uno de los cuadrados de una tabla $n\times n$ están coloreados de azul. Se sabe que existe una única manera de cortar la tabla en rectángulos a lo largo de los bordes de sus cuadrados con la siguiente propiedad: todo rectángulo contiene exactamente un cuadrado azul. Halle el menor $n$ posible.

3 La sucesión $a_1, a_2,...$ está definida por las igualdades $a_1 = 2, a_2 = 12$ y $a_{n+1} = 6a_n-a_{n-1}$ para todo entero positivo $n \ge 2$ . Demuestre que ningún término de esta sucesión es igual a una potencia perfecta (mayor que uno) de un entero positivo.

4 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R^+}\to\mathbb {R^+} $ tales que para todo $x,y\in R^+$ se cumplen las siguientes condiciones: $i) $ $f (x+y)\ge f (x)+y $ $ii) $ $f (f (x))\le x $

5 En un triángulo $\triangle ABC$ los puntos $L, P$ y $Q$ se encuentran en los segmentos $AB, AC$ y $BC$ , respectivamente, y son tales que $PCQL$ es un paralelogramo. La circunferencia con centro en el punto medio $M$ del segmento $AB$ y radio $CM$ y la circunferencia de diámetro $CL$ se intersecan por segunda vez en el punto $T$ . Demuestre que las rectas $AQ, BP$ y $LT$ concurren en un punto.

6 En una olimpiada matemática los estudiantes recibieron calificaciones en cada una de las cuatro áreas: álgebra, geometría, teoría de números y combinatoria. Dos estudiantes cualesquiera tienen calificaciones distintas en las cuatro áreas. Un grupo de estudiantes se llama bueno si todos los estudiantes del grupo pueden ordenarse de manera simultáneamente creciente en al menos dos de las cuatro áreas. Halle el menor entero positivo N tal que entre cualesquiera N estudiantes exista un grupo bueno de diez estudiantes.

1 Sea $k$ una circunferencia dada y $A$ un punto fijo exterior a $k$ . $BC$ es un diámetro de $k$ . Halle el lugar geométrico del ortocentro de $\triangle ABC$ cuando $BC$ varía. Propuesto por T. Vitanov, E. Kolev

2 Cada celda de un tablero de ajedrez $m \times n$ , $m\ge 2,n\ge 2$ , está coloreada con uno de cuatro colores posibles, por ejemplo blanco, verde, rojo y azul. Llamamos buena a tal coloración si las cuatro celdas de cualquier cuadrado $2\times 2$ del tablero están coloreadas con colores distintos dos a dos. Determine el número de todas las coloraciones buenas del tablero de ajedrez. Propuesto por N. Beluhov

3 Un número real $f(X)\neq 0$ se asigna a cada punto $X$ del espacio. Se sabe que para cualquier tetraedro $ABCD$ con $O$ el centro de la esfera inscrita, se tiene: \[ f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D). \] Demuestre que $f(X)=1$ para todos los puntos $X$ . Propuesto por Aleksandar Ivanov

1 Halle todos los pares de números primos $p\,,q$ para los cuales: \[p^2 \mid q^3 + 1 \,\,\, \text{and} \,\,\, q^2 \mid p^6-1\] Propuesto por P. Boyvalenkov

2 Halle todas las funciones $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{R}^+ $ con la propiedad: \[f(xy)=f(x+y)(f(x)+f(y)) \,,\, \forall x,y \in \mathbb{Q}^+\] Propuesto por Nikolay Nikolov