7 La ciudad de Bridge Village tiene algunas autopistas. Las autopistas son curvas cerradas que se intersecan entre sí o consigo mismas en cruces de $4$ vías. El Sr. Bridge Lover, alcalde de la ciudad, quiere construir un puente en cada cruce para disminuir el número de accidentes. Quiere construir los puentes de tal manera que en cada autopista, los autos pasen alternadamente por encima de un puente y por debajo de un puente. Conociendo el número de autopistas, determine si esta acción es posible o no. Propuesto por Erfan Salavati

4 Se da un triángulo $ABC$ y sea $D$ el punto medio del arco mayor $BAC$ de su circunferencia circunscrita. Sean $M , N$ los puntos medios de $AB , AC$ y $J , E , F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita $(I)$ de $\triangle ABC$ con $BC, CA, AB$ . La recta $MN$ corta a $JE , JF$ en $K , H$ respectivamente; $IJ$ corta a la circunferencia $(BIC)$ en $G$ y $DG$ corta a $(BIC)$ en $T$ . a) Demuestre que $JA$ pasa por el punto medio de $HK$ y es perpendicular a $IT$ . b) Sean $R, S$ las proyecciones perpendiculares de $D$ sobre $AB, AC$ , respectivamente. Tome los puntos $P, Q$ en $IF , IE$ respectivamente, tales que $KP$ y $HQ$ son ambos perpendiculares a $MN$ . Demuestre que las tres rectas $MP , NQ$ y $RS$ son concurrentes .

3 Hay $n\ge 2$ lámparas, cada una con dos estados: $\textbf{on}$ o $\textbf{off}$ . Para cada subconjunto no vacío $A$ del conjunto de estas lámparas, hay un $\textit{soft-button}$ que opera sobre las lámparas de $A$ ; es decir, al $\textit{operating}$ este botón cada una de las lámparas de $A$ cambia su estado (de encendido a apagado y de apagado a encendido). Los botones son idénticos y no se sabe qué botón corresponde a qué subconjunto de lámparas. Suponga que inicialmente todas las lámparas están apagadas. Demuestre que siempre se pueden encender todas las lámparas realizando a lo sumo $2^{n-1}+1$ operaciones.

3 Sea $n$ un entero positivo, sea $S_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_{2^n}) \mid a_i=0 \ \text{or} \ 1, 1 \leq i \leq 2^n\}$ . Para cualesquiera dos elementos $a=(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})$ y $b=(b_1,b_2,\cdots,b_{2^n})$ de $S_n$ , defina \[ d(a,b)= \sum_{i=1}^{2^n} |a_i - b_i| \] Llamamos a $A \subseteq S_n$ un $\textsl{Good Subset}$ si $d(a,b) \geq 2^{n-1}$ se cumple para cualesquiera dos elementos distintos $a$ y $b$ de $A$ . ¿Cuántos elementos puede tener a lo más el $\textsl{Good Subset}$ de $S_n$ ?

2006 g1.2 Sean $\Gamma$ y $\Gamma'$ dos circunferencias congruentes con centros en $O$ y $O'$ , respectivamente, y sea $A$ uno de sus dos puntos de intersección. $B$ es un punto sobre $\Gamma$ , $C$ es el segundo punto de intersección de $AB$ y $\Gamma'$ , y $D$ es un punto sobre $\Gamma'$ tal que $OBDO'$ es un paralelogramo. Muestre que la longitud de $CD$ no depende de la posición de $B$ .

1 Sea \( \mathbb{R} ^{+} \) el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones \( \mathbb{R} ^{+} \to \mathbb{R} ^{+} \) tales que \[ f(x+f(y)) = yf(xy+1)\] se cumple para todo \( x, y \in \mathbb{R} ^{+} \).

G4 Sea $P$ un punto dentro del triángulo $ABC$ . Sea $A_1$ el punto donde $AP$ corta a $BC$ , sea $B_1$ el punto donde $BP$ corta a $CA$ , y sea $C_1$ el punto donde $CP$ corta a $AB$ . Sea $A_2$ el punto tal que $A_1$ es el punto medio de $PA_2$ , sea $B_2$ el punto tal que $B_1$ es el punto medio de $PB_2$ , y sea $C_2$ el punto tal que $C_1$ es el punto medio de $PC_2$ . Demuestre que los puntos $A_2, B_2$ y $C_2$ no pueden estar todos estrictamente dentro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . (Australia)

A8 Para un entero positivo $n$ , una $n$ -sucesión es una sucesión $(a_0,\ldots,a_n)$ de enteros no negativos que satisface la siguiente condición: si $i$ y $j$ son enteros no negativos con $i+j \leqslant n$ , entonces $a_i+a_j \leqslant n$ y $a_{a_i+a_j}=a_{i+j}$ . Sea $f(n)$ el número de $n$ -sucesiones. Demuestre que existen números reales positivos $c_1$ , $c_2$ y $\lambda$ tales que \[c_1\lambda^n<f(n)<c_2\lambda^n\] para todos los enteros positivos $n$ .

1 Sean $a$ , $b$ , $n$ enteros positivos tales que $a,b \le n$ . Demuestre que: $\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \binom{k}{a} \binom{k}{b} \le \frac{1}{a+b+1} \binom{n}{a} \binom{n}{b}$ Nota: Cuando $m<k$ , se define que $\binom{k}{m}=0$ .

G1 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\Omega$ . $\Gamma$ es la circunferencia que pasa por $O,B$ y es tangente a $AB$ en $B$ . Suponga que $\Gamma$ corta a $\Omega$ por segunda vez en $P \neq B$ . La circunferencia que pasa por $P,C$ y es tangente a $AC$ en $C$ corta a $\Gamma$ en $M$ . Demuestre que $|MP|=|MC|$ .