6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero, y sean $E$ y $F$ puntos sobre los lados $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que $\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$. El rayo $FE$ corta a los rayos $BA$ y $CD$ en $S$ y $T$, respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $SAE$, $SBF$, $TCF$ y $TDE$ pasan por un punto común.

1. Determina todos los enteros positivos compuestos \( n \) para los cuales es posible acomodar todos los divisores de \( n \) mayores que 1 en un círculo de modo que no haya dos divisores adyacentes que sean primos relativos. Valentin

2 Demuestra que el sistema \begin{align*} x^6+x^3+x^3y+y & = 147^{157} \\ x^3+x^3y+y^2+y+z^9 & = 157^{147} \end{align*} no tiene soluciones en enteros $x$, $y$ y $z$. Valentin

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, y sean $P$ y $Q$ dos puntos sobre su lado $BC$. Construye un punto $C_{1}$ de manera que el cuadrilátero convexo $APBC_{1}$ sea cíclico, $QC_{1}\parallel CA$, y $C_{1}$ y $Q$ estén en lados opuestos de la recta $AB$. Construye un punto $B_{1}$ de manera que el cuadrilátero convexo $APCB_{1}$ sea cíclico, $QB_{1}\parallel BA$, y $B_{1}$ y $Q$ estén en lados opuestos de la recta $AC$. Demuestra que los puntos $B_{1}$, $C_{1}$, $P$ y $Q$ están sobre una circunferencia. Valentin

4 Patas \(L_1, L_2, L_3, L_4\) de una mesa cuadrada tienen cada una longitud \(n\), donde \(n\) es un entero positivo. ¿Para cuántas 4-tuplas ordenadas \((k_1, k_2, k_3, k_4)\) de enteros no negativos podemos cortar un trozo de longitud \(k_i\) del extremo de la pata \(L_i \; (i=1,2,3,4)\) y aun así tener una mesa estable? (La mesa es estable si se puede colocar de modo que los cuatro extremos de las patas toquen el piso. Nota que se permite una pata cortada de longitud 0.) Valentin

Sea $n$ un entero mayor que 1. Supón que se dan $2n$ puntos en el plano, sin que tres de ellos sean colineales. Supón que $n$ de los $2n$ puntos dados están coloreados de azul y los otros $n$ de rojo. Una línea en el plano se llama línea equilibrada si pasa por un punto azul y uno rojo y, para cada lado de la línea, el número de puntos azules en ese lado es igual al número de puntos rojos en el mismo lado. Demuestra que existen al menos dos líneas equilibradas. Valentín

Para $m$ un entero positivo, sea $s(m)$ la suma de los dígitos de $m$. Para $n\ge 2$, sea $f(n)$ el mínimo $k$ para el cual existe un conjunto $S$ de $n$ enteros positivos tal que $s\left(\sum_{x\in X} x\right)=k$ para cualquier subconjunto no vacío $X\subset S$. Demuestra que existen constantes $0<C_1<C_2$ con \[C_1 \log_{10} n \le f(n) \le C_2 \log_{10} n.\]

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, cuyos ángulos interiores y exteriores son de al menos 60 grados. Demuestra que \[ \frac{1}{3}|AB^3 - AD^3| \le |BC^3 - CD^3| \le 3|AB^3 - AD^3|. \] ¿Cuándo se da la igualdad?

2 Supón que \(a_1, \dots, a_n\) son enteros cuyo máximo común divisor es 1. Sea \(S\) un conjunto de enteros con las siguientes propiedades: (a) Para \(i=1, \dots, n\), \(a_i \in S\). (b) Para \(i,j = 1, \dots, n\) (no necesariamente distintos), \(a_i - a_j \in S\). (c) Para cualesquiera enteros \(x,y \in S\), si \(x+y \in S\), entonces \(x-y \in S\). Demuestra que \(S\) debe ser igual al conjunto de todos los enteros.

Encuentre $x-y$ , dado que $x^4=y^4+24$ , $x^2+y^2=6$ y $x+y=3$ .