1 Demuestre que: $ \sum_{i=1}^{n^2} \lfloor \frac{i}{3} \rfloor= \frac{n^2(n^2-1)}{6}$ Para todo $ n \in N$ .

2 La sucesión $ a_n$ se define de la siguiente manera: $ a_0=1, a_1=1, a_{n+1}=\frac{1+a_{n}^2}{a_{n-1}}$ . Demuestre que todos los términos de la sucesión son enteros.

3 P y Q son 2 puntos en la región limitada por 2 rayos, e y f, que parten de un punto O. Describa cómo construir, solo con una regla y un compás, un triángulo isósceles ABC, tal que su base AB esté sobre el rayo e, el punto C esté sobre el rayo f, P esté sobre AC, y Q sobre BC.

1 Si los números naturales $ x$ , $ y$ , $ p$ , $ n$ , $ k$ con $ n > 1$ impar y $ p$ un primo impar satisfacen $ x^n + y^n = p^k$ , demuestre que $ n$ es una potencia de $ p$ .

2 Un bloque de tamaño $ a\times b\times c$ está compuesto de bloques de dominó de $ 1\times 1\times 2$ . Suponiendo que cada una de las tres direcciones posibles de los bloques de dominó ocurre el mismo número de veces, ¿cuáles son los valores posibles de $ a$ , $ b$ , $ c$ ?

3 Sea $ \mathcal{H} = A_1A_2\ldots A_n$ un $ n$ - gono convexo. Para $ i = 1, 2, \ldots, n$ , sea $ A'_{i}$ el punto simétrico de $ A_i$ con respecto al punto medio de $ A_{i - 1}A_{i + 1}$ (donde $ A_{n + 1} = A_1$ ) . Decimos que el vértice $ A_i$ es bueno si $ A'_{i}$ está en el interior de $ \mathcal{H}$ . Muestre que al menos $ n - 3$ vértices de $ \mathcal{H}$ son buenos .

1 Un punto $ P$ en el interior de una circunferencia es tal que hay tres cuerdas de la misma longitud que pasan por $ P$ . Demuestre que $ P$ es el centro de la circunferencia.

2 Si $ x$ , $ y$ , $ z$ son números reales no negativos con suma $ 1$ , halle el valor máximo de $ S = x^2(y + z) + y^2(z + x) + z^2(x + y)$ y de $ C = x^2y + y^2z + z^2x$ .

7 ¿Puede el semiplano superior ser embaldosado por un triángulo ideal mediante reflexiones sucesivas a través de sus lados?

3 Un grupo de $ 100$ estudiantes numerados del $ 1$ al $ 100$ juega el siguiente juego. El juez escribe los números $ 1$ , $ 2$ , $ \ldots$ , $ 100$ en $ 100$ tarjetas, las coloca sobre la mesa en un orden arbitrario y las pone boca abajo. Los estudiantes del $ 1$ al $ 100$ entran a la sala uno por uno, y cada uno de ellos da vuelta $ 50$ de las tarjetas. Si entre las tarjetas volteadas por el estudiante $ j$ está la tarjeta $ j$ , gana un punto. Luego las tarjetas volteadas se ponen boca abajo nuevamente. Los estudiantes no pueden comunicarse durante el juego ni pueden ver las tarjetas volteadas por otros estudiantes. El grupo gana el juego si cada estudiante gana un punto. ¿Existe una estrategia que le dé al grupo más de $ 1$ por ciento de probabilidad de ganar?