1 Determine todos los enteros $a$ con la propiedad de que para los polinomios $$f(x) = x^{12} - x^{11} + 3x^{10} + 11x^3 - x^2 + 23x + 30$$ $$g(x) = x^3 + 2x + a$$ exista un polinomio $h(x)$ tal que para todo $x$ real se cumpla la ecuación $f(x) = g(x)\cdot h(x)$ .

2012.2.2 En el triángulo $ABC$, denota la proyección del punto $C$ sobre la recta $AB$ por $D$, la proyección del punto $D$ sobre la recta $AC$ por $E$, y el punto medio del segmento $CD$ por $P$. Sea $K_1$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, y $K_2$ la circunferencia con centro en $C$ y radio $CD$. Demuestra que la recta $EP$ pasa por las intersecciones de las circunferencias $K_1$ y $K_2$ exactamente cuando el ángulo $\angle ACB$ es recto.

C1 Se realiza un torneo de ajedrez con la participación de niñas y niños. Las niñas son el doble de los niños. Cada jugador juega contra cada otro jugador exactamente una vez. Al final del torneo no hubo empates y la razón entre las victorias de las niñas y las victorias de los niños fue $\frac{7}{9}$ . ¿Cuántos jugadores participaron en el torneo?

1 Si $f$ y $g$ son funciones continuas en el intervalo $-1 \le x \le 1$ , entonces $d_1(f, g)$ y $d_2(f, g)$ se definen como sigue: $$d_1(f, g) = max |f(x) -g(x)|$$ $d_2(f, g)$ es el área, expresada en unidades de un sistema de coordenadas rectangulares, de la región limitada por las imágenes de las funciones $f$ y $g$ y dos segmentos sobre las rectas $x = -1$ y $x = 1$ , respectivamente. (El contenido de cada subárea se considera positivo, independientemente de su orientación.) Sean $f_n$ ( $n = 1, 2, 3, ...$ ) y $h$ definidas en el intervalo $-1 \le x \le 1$ por $$f_n(x) = \sum^n_{k=1}(1- x)x^{k-1} \,\,\, and \,\,\, h(x) = 1$$ a) Halle el límite $\lim_{n \to \infty}d_1(f_n, h)$ si este límite existe. b) Halle el límite $\lim_{n \to \infty}d_2(f_n, h)$ si este límite existe.

5 Sea $n$ un número natural mayor que $1$ . Demuestre que para cada uno de los $n$ números $a_1$ , $a_2$ , $...$ , $a_n$ con $a_j = n! + j$ ( $j = 1, 2, ..., n$ ) existe un número primo $p_j$ que divide al número $a_j$ , pero no a ningún otro número $a_k$ ( $k\ne j$ ) de estos $n$ números.

3 a) Sea $P_1P_2...P_n$ un $n$ - ágono plano convexo cualquiera $E$ en un plano. Demuestre el siguiente enunciado: Si los puntos $Q_1, ..., Q_n$ se encuentran en el interior o sobre la frontera de $E$ de modo que $Q_1$ , ..., $Q_n$ sea un $n$ - ágono congruente con $E$ , entonces todo punto $Q_i$ ( $i = 1, 2, ..., n$ ) es un vértice de $E$ . (1) b) ¿Existen $n$ - ágonos no convexos $E$ para los cuales el enunciado (1) es falso?

6B a) Sea M el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales para las cuales se satisfacen las siguientes desigualdades (1) a (5): $$55x + z \le 54 \,\,\,(1)$$ $$55y + z \le 54 \,\,\,(2)$$ $$55x - 4z \ge 4 \,\,\, (3)$$ $$55y - 4z \ge 4 \,\,\,(4)$$ $$z \ge -1 \,\,\,(5)$$ Investigue si para la expresión $$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 \,\,\, (6)$$ existe una terna $(x_0, y_0, z_0) \in M$ tal que para todas las ternas $(x, y, z) \in M$ se cumpla la desigualdad $$f(x_0, y_0, z_0) \ge f(x, y, z)$$ . Si es el caso, determine entonces $f(x_0, y_0, z_0)$ . b) Sea $M'$ el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de enteros para las cuales se satisfacen las desigualdades (1) a (5). Investigue si para la expresión (6) existe una terna $(x_1, y_1, z_1) \in M'$ con la propiedad de que para todas las ternas $(x, y, z) \in M'$ se cumpla la desigualdad $$f(x_1, y_1, z_1) \ge f(x, y, z)$$ . Si es el caso, determine $f(x_1, y_1, z_1)$ .

6A Sea $A_1A_2A_3A_4A_5$ un pentágono regular con una longitud de lado dada $s$ . Alrededor de cada punto $A_i$ ( $i = 1, 2, 3, 4, 5$ ) se coloca la esfera $K_i$ con radio $\frac{s}{2}$ y centro $A_i$ . Entonces, en el conjunto de aquellas esferas $K'$ que tienen la propiedad de ser tangentes a cada una de las cinco esferas $K_i$ , hay exactamente dos esferas $K'_1$ y $K'_2$ con radio $\frac{s}{2}$ . Investigue si $K'_1$ y $K'_2$ se intersecan, son tangentes o no tienen ningún punto en común.

3 a) Enumere todas las formas en que una región triangular dada $D$ puede dividirse en tres regiones triangulares $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ . b) Demuestre que si una región triangular $D$ puede dividirse en tres regiones triangulares semejantes $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ , entonces dicha región triangular es isósceles o rectángula.

5 Sea $f_1, f_2, ...$ una sucesión de funciones definidas para todos los números reales $x$ mediante $$f_1(x) =\sqrt{x^2 + 48}$$ $$f_{k+1}(x) =\sqrt{x^2 + 6f_k(x)}$$ para $k = 1, 2, 3, ...$ Halle, para cada $n = 1, 2, 3, ...,$ todos los números reales $x$ que son soluciones de la ecuación $f_n(x) = 2x$ .