A1 ¿Cuántos enteros positivos $n$ hay tales que $n$ es un divisor exacto de al menos uno de los números $10^{40}$ y $20^{30}$?

B5 Para cada entero no negativo $k$, sea $d(k)$ el número de unos en la expansión binaria de $k$. Sea $m$ un entero positivo. Expresa $$\sum_{k=0}^{2^m-1}(-1)^{d(k)}k^m$$ en la forma $(-1)^ma^{f(m)}g(m)!$, donde $a$ es un entero y $f$ y $g$ son polinomios.

B6 Una sucesión de polígonos convexos $(P_n), n\ge 0,$ se define inductivamente de la siguiente manera. $P_0$ es un triángulo equilátero de lado $1$. Una vez que se ha determinado $P_n$, sus lados se trisecan; los vértices de $P_{n+1}$ son los puntos de trisección interiores de los lados de $P_n$. Expresa $\lim_{n\to\infty}[P_n]$ en la forma $\frac{\sqrt a}{b}$, donde $a,b$ son enteros.

B1 Sea $n$ un entero positivo, y define $f(n)=1!+2!+\ldots+n!$. Encuentra polinomios $P$ y $Q$ tales que $$f(n+2)=P(n)f(n+1)+Q(n)f(n)$$ para todo $n\ge1$.

A6 Sea $n$ un entero positivo, y sea $f(n)$ el último dígito distinto de cero en la expansión decimal de $n!$. $(\text a)$ Demuestra que si $a_1,a_2,\ldots,a_k$ son enteros no negativos distintos, entonces $f(5^{a_1}+5^{a_2}+\ldots+5^{a_k})$ depende únicamente de la suma $a_1+a_2+\ldots+a_k$. $(\text b)$ Suponiendo la parte $(\text a)$, podemos definir $$g(s)=f(5^{a_1}+5^{a_2}+\ldots+5^{a_k}),$$ donde $s=a_1+a_2+\ldots+a_k$. Encuentra el menor entero positivo $p$ para el cual $$g(s)=g(s+p),\enspace\text{para todo }s\ge1,$$ o demuestra que no existe tal $p$.

10.5 Demuestre que para todos los valores reales no negativos de $a$ , $b$ y $c$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ a^3 + 64b^3 + 729c^3 \ge 6a^2\sqrt{bc} + 48b^2\sqrt{ac} + 162c^2\sqrt{ab}. \]

B4 Problema. Sea $f:\mathbb{R}_0^+\rightarrow\mathbb{R}_0^+$ una función definida como $$f(n)=n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor~\forall~n\in\mathbb{R}_0^+.$$ Demuestra que para cualquier entero positivo $m,$ la sucesión $$m,f(m),f(f(m)),f(f(f(m))),\ldots$$ contiene un cuadrado perfecto.

A4 Sea $k$ un entero positivo y sea $m=6k-1$. Sea $$S(m)=\sum_{j=1}^{2k-1}(-1)^{j+1}\binom m{3j-1}.$$ Demuestra que $S(m)$ nunca es cero.

A5 Demuestra o refuta que existe un real positivo $u$ tal que $\lfloor u^n\rfloor-n$ es un entero par para todo entero positivo $n$.

A6 Sea $$ F(x)=\frac{x^4}{\exp(x^3)}\int^x_0\int^{x-u}_0\exp(u^3+v^3)\,dv\,du. $$ Encuentra $\lim_{x\to\infty}F(x)$ o demuestra que no existe.