2 Sean $a, b, c, d$ y $e$ enteros positivos tales que $a\le b\le c\le d\le e$ y que $a+b+c+d+e=1002$. a) Determina el mayor valor posible de $a+c+e$. b) Determina el menor valor posible de $a+c+e$.

1 Los números $203$ y $298$ , al dividirlos por el entero positivo $x$ , dan ambos resto $13$ . ¿Cuáles son los posibles valores de $x$ ?

4 Supón que $X=\{1,2, \ldots, 2^{1996}-1\}$, demuestra que existe un subconjunto $A$ que satisface estas condiciones: a) $1\in A$ y $2^{1996}-1\in A$; b) Todo elemento de $A$ excepto $1$ es igual a la suma de dos elementos (posiblemente iguales) de $A$; c) El número máximo de elementos de $A$ es $2012$. Rumania

3 En un pentágono convexo $ABCDE$, los puntos $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$ son los puntos medios de los lados $AB$, $BC$, $CD$, $DE$, $EA$, respectivamente. Si los segmentos $AP$, $BQ$, $CR$ y $DM$ pasan por un mismo punto, demuestra que $EN$ también contiene ese punto. Yugoslavia Valentin

1 Sea $O$ el circuncentro y $G$ el baricentro de un triángulo $ABC$. Si $R$ y $r$ son el circunradio y el inradio del triángulo, respectivamente, demuestra que \[ OG \leq \sqrt{ R ( R - 2r ) } . \] Grecia Valentin

4 Dado un triángulo acutángulo $ABC$, sea $P$ un punto arbitrario en el segmento $BC$. Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ interseca a $AB$ en $P_b$. Una recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ interseca a $AC$ en $P_c$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $AP_bP_c$ pasa por un punto fijo distinto de $A$ cuando $P$ varía en el segmento $BC$. Propuesto por ltf0501

4 En una competencia matemática, algunos competidores son amigos; la amistad es mutua, es decir, si $A$ es amigo de $B$, entonces $B$ también es amigo de $A$. Decimos que $n \geq 3$ competidores distintos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forman un ciclo débilmente amistoso si $A_i$ no es amigo de $A_{i+1}$ para $1 \leq i \leq n$ (donde $A_{n+1} = A_1$), y no hay otros pares de no amigos entre los componentes del ciclo. Se satisface la siguiente propiedad: "para todo competidor $C$ y todo ciclo débilmente amistoso $\mathcal{S}$ de competidores que no incluye a $C$, el conjunto de competidores $D$ en $\mathcal{S}$ que no son amigos de $C$ tiene a lo sumo un elemento". Demuestra que todos los competidores de esta competencia matemática pueden ser distribuidos en tres habitaciones, de modo que cada dos competidores en la misma habitación sean amigos. (Serbia)

2 Determina todos los enteros positivos $x$, $y$ y $z$ tales que $x^5 + 4^y = 2013^z$ . (Serbia)

3 Sea $S$ el conjunto de los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f\colon S^3 \to S$ tales que, para todos los números reales positivos $x$, $y$, $z$ y $k$, se satisfacen las siguientes tres condiciones: (a) $xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$, (b) $f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$, (c) $f(1, k, k+1) = k+1$. (Reino Unido)

4 Las cifras decimales $a,b,c$ satisfacen \[ 37\mid (a0a0\ldots a0b0c0c\ldots 0c)_{10} \] donde hay $1001$ aes y $1001$ ces. Demuestre que $b=a+c$ .