Demuestra que para un número natural $n > 2, (n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$

Demuestra que hay infinitos enteros positivos que no se pueden expresar como la suma de cuadrados de tres enteros positivos.

¿Qué números naturales se pueden expresar como la diferencia de cuadrados de dos enteros?

Sean $a_0, a_1, a_2, \cdots$ determinados por $a_0 = 0, a_{n+1} = 2a_n + 2^n$. Demuestra que si $n$ es una potencia de $2$, entonces también lo es $a_n$.

$(SWE 3)$ Encuentre el número natural $n$ con las siguientes propiedades: $(1)$ Sea $S = \{P_1, P_2, \cdots\}$ un conjunto finito arbitrario de puntos en el plano, y $r_j$ la distancia desde $P_j$ hasta el origen $O.$ Asignamos a cada $P_j$ el disco cerrado $D_j$ con centro $P_j$ y radio $r_j$ . Entonces, algunos $n$ de estos discos contienen todos los puntos de $S.$ $(2)$ $n$ es el entero más pequeño con la propiedad anterior.

$(SWE 2)$ Para cada $\lambda (0 < \lambda < 1$ y $\lambda = \frac{1}{n}$ para todo $n = 1, 2, 3, \cdots)$ , construya una función continua $f$ tal que no existan $x, y$ con $0 < \lambda < y = x + \lambda \le 1$ para los cuales $f(x) = f(y).$

$(SWE 1)$ Se dan seis puntos $P_1, . . . , P_6$ en un espacio $3-$dimensional tales que no cuatro de ellos están en el mismo plano. Cada uno de los segmentos de línea $P_jP_k$ se colorea de negro o blanco. Demuestre que existe un triángulo $P_jP_kP_l$ cuyos bordes son del mismo color.

Dado un triángulo $ ABC $ con puntos $ M $ y $ N $ en los lados $ AB $ y $ AC $ respectivamente. Si $ \dfrac{BM}{MA} +\dfrac{CN}{NA} = 1 $ , entonces demuestre que el centroide de $ ABC $ está en $ MN $ .

Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen un número igual $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestre que si $m > \frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

Para cada $k=1,2,3,4,5$, encuentre las condiciones necesarias y suficientes sobre $a>0$ tales que exista un tetraedro con $k$ aristas de longitud $a$ y el resto de longitud $1$.