Demuestra que para todos los números reales no negativos $x,y,z$ , no todos iguales a $0$ , la siguiente desigualdad se cumple $\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$ Determina todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad.

Para números reales positivos $x,y,z$ con $xy+yz+zx=1$ , demuestra que $$\frac{2}{xyz}+9xyz \geq 7(x+y+z)$$

Demuestra que para todos los números reales positivos $a,b,c,d$ , $$\frac{2}{(a+b)(c+d)+(b+c)(a+d)} \leq \frac{1}{(a+c)(b+d)+4ac}+\frac{1}{(a+c)(b+d)+4bd}$$ y determina cuando ocurre la igualdad.

Sean cuatro puntos $A_i (i = 1, 2, 3, 4)$ en el plano que determinan cuatro triángulos. En cada uno de estos triángulos elegimos el ángulo más pequeño. La suma de estos ángulos se denota por $S.$ ¿Cuál es la posición exacta de los puntos $A_i$ si $S = 180^{\circ}$ ?

Un parque tiene la forma de un pentágono convexo de área $50000\sqrt{3} m^2$ . Un hombre de pie en un punto interior $O$ del parque se da cuenta de que se encuentra a una distancia de como máximo $200 m$ de cada vértice del pentágono. Demuestre que se encuentra a una distancia de al menos $100 m$ de cada lado del pentágono.

Suponga que los números reales positivos $x_1, x_2, x_3$ satisfacen $x_1x_2x_3 > 1, x_1 + x_2 + x_3 <\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}$ Demostrar que: $(a)$ Ninguno de $x_1, x_2, x_3$ es igual a $1$ . $(b)$ Exactamente uno de estos números es menor que $1.$

Dados $5$ puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales, demuestre que podemos elegir $4$ puntos entre ellos que forman un cuadrilátero convexo.

Dados los números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ que satisfacen $x_1>0,x_2>0,x_1y_1>z_1^2$ , y $x_2y_2>z_2^2$ , demostrar que: \[ {8\over(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le{1\over x_1y_1-z_1^2}+{1\over x_2y_2-z_2^2}. \] Dar condiciones necesarias y suficientes para la igualdad.

Demostrar que si $0 \le a_0 \le a_1 \le a_2,$ entonces $(a_0 + a_1x - a_2x^2)^2 \le (a_0 + a_1 + a_2)^2\left(1 +\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^3+x^4\right)$. Formular y demostrar el resultado análogo para polinomios de tercer grado.

Demuestra que para $a > b^2,$ la identidad ${\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$