Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1,$ y $k + 2$. Demuestre que $f(m)$ es divisible por $3$ para todos los enteros $m.$

Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ que no están en el mismo plano, encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ tales que $MA^2 +MB^2 = MC^2 +MD^2.$

Demuestre que un polígono regular con un número impar de lados no se puede dividir en cuatro piezas con áreas iguales mediante dos líneas que pasan por el centro del polígono.

Una curva está determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ y se construye en una cuadrícula rectangular. Determine el número de cuadrados cortados por la curva.

Las bisectrices de los ángulos exteriores de un pentágono $B_1B_2B_3B_4B_5$ forman otro pentágono $A_1A_2A_3A_4A_5.$ Construya $B_1B_2B_3B_4B_5$ a partir del pentágono dado $A_1A_2A_3A_4A_5.$

Un niño tiene un conjunto de trenes y piezas de vía férrea. Cada pieza es un cuarto de círculo, y al concatenar estas piezas, el niño obtuvo un ferrocarril cerrado. El ferrocarril no se interseca a sí mismo. Al pasar por este ferrocarril, el tren a veces va en el sentido de las agujas del reloj y, a veces, en la dirección opuesta. Demuestre que el tren pasa un número par de veces a través de las piezas en el sentido de las agujas del reloj y un número par de veces en el sentido contrario a las agujas del reloj. Además, demuestre que el número de piezas es divisible por $4.$

Sean $x_1, x_2, x_3, x_4,$ y $x_5$ enteros positivos que satisfacen \[x_1 +x_2 +x_3 +x_4 +x_5 = 1000,\]\n\[x_1 -x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\]\n\[x_1 +x_2 -x_3 +x_4 -x_5 > 0,\]\n\[-x_1 +x_2 +x_3 -x_4 +x_5 > 0,\]\n\[x_1 -x_2 +x_3 +x_4 -x_5 > 0,\]\n\[-x_1 +x_2 -x_3 +x_4 +x_5 > 0\]\n$(a)$ Encuentre el máximo de $(x_1 + x_3)^{x_2+x_4}$\n$(b)$ ¿De cuántas maneras diferentes podemos elegir $x_1, . . . , x_5$ para obtener el máximo deseado?

$C$ es un punto en el semicírculo de diámetro $AB$, entre $A$ y $B$. $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ hasta $AB$. El círculo $K_1$ es el incírculo de $ABC$, el círculo $K_2$ toca a $CD,DA$ y al semicírculo, el círculo $K_3$ toca a $CD,DB$ y al semicírculo. Demuestre que $K_1,K_2$ y $K_3$ tienen otra tangente común aparte de $AB$.

Los vértices de un $(n + 1)-$ágono se colocan en los bordes de un $n-$ágono regular de manera que el perímetro del $n-$ágono se divide en partes iguales. ¿Cómo se eligen estos $n + 1$ puntos para obtener el $(n + 1)-$ágono con $(a)$ área máxima; $(b)$ área mínima?

Dados $n>4$ puntos en el plano, no tres colineales. Demostrar que hay al menos $\frac{(n-3)(n-4)}{2}$ cuadriláteros convexos con vértices entre los $n$ puntos.