Encontrar el radio del círculo circunscrito sobre el triángulo isósceles cuyos lados son las soluciones de la ecuación $x^2 - ax + b = 0$.

Sean $p$ y $q$ dos números primos mayores que $3$. Demostrar que si su diferencia es $2^n$, entonces para cualesquiera dos enteros $m$ y $n$, el número $S = p^{2m+1} + q^{2m+1}$ es divisible por $3$.

Sean $A_k (1 \le k \le h)$ conjuntos de $n$ elementos tales que cada dos de ellos tienen una intersección no vacía. Sea $A$ la unión de todos los conjuntos $A_k$, y sea $B$ un subconjunto de $A$ tal que para cada $k (1\le k \le h)$ la intersección de $A_k$ y $B$ consiste exactamente de dos elementos diferentes $a_k$ y $b_k$. Encontrar todos los subconjuntos $X$ del conjunto $A$ con $r$ elementos que satisfacen la condición de que para al menos un índice $k$, ambos elementos $a_k$ y $b_k$ pertenecen a $X$.

Dados los reales $x_0, x_1, \alpha, \beta$, encontrar una expresión para la solución del sistema \[x_{n+2} -\alpha x_{n+1} -\beta x_n = 0, \qquad n= 0, 1, 2, \ldots\]

Encuentre el número de números de cinco dígitos con las siguientes propiedades: hay dos pares de dígitos tales que los dígitos de cada par son iguales y están uno al lado del otro, los dígitos de diferentes pares son diferentes y el dígito restante (que no pertenece a ninguno de los pares) es diferente de los otros dígitos.

Encuentre las posiciones de tres puntos $A,B,C$ en la frontera de un cubo unitario tal que $min\{AB,AC,BC\}$ sea lo más grande posible.

Sean $r$ y $m (r \le m)$ números naturales y $Ak =\frac{2k-1}{2m}\pi$ . Evalúe $\frac{1}{m^2}\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\displaystyle\sum_{l=1}^{m}\sin(rA_k)\sin(rA_l)\cos(rA_k-rA_l)$

Si $a_1, a_2, . . . , a_n$ son constantes reales, y si $y = \cos(a_1 + x) +2\cos(a_2+x)+ \cdots+ n \cos(a_n + x)$ tiene dos ceros $x_1$ y $x_2$ cuya diferencia no es un múltiplo de $\pi$ , demuestre que $y = 0.$

En el plano se dan $4000$ puntos de tal manera que cada línea pasa por a lo sumo $2$ de estos puntos. Demuestre que existen $1000$ cuadriláteros disjuntos en el plano con vértices en estos puntos.

Prueba que $1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{5}{4}$