Sean $a$ y $b$ enteros arbitrarios. Demuestra que si $k$ es un entero no divisible por $3$ , entonces $(a + b)^{2k}+ a^{2k} +b^{2k}$ es divisible por $a^2 +ab+ b^2$

Dado un anillo $G$ en el plano limitado por dos círculos concéntricos con radios $R$ y $\frac{R}{2}$ , prueba que podemos cubrir esta región con $8$ discos de radio $\frac{2R}{5}$ . (Una región está cubierta si cada uno de sus puntos está dentro o en el borde de algún disco.)

Encuentra el número máximo de regiones en las que una esfera puede ser dividida por $n$ círculos.

Encuentra el número de permutaciones $a_1, \cdots, a_n$ del conjunto $\{1, 2, . . ., n\}$ tal que $|a_i - a_{i+1}| \neq 1$ para todo $i = 1, 2, . . ., n - 1.$ Encuentra una fórmula de recurrencia y evalúa el número de tales permutaciones para $n \le 6.$

Demuestre que existen infinitos números naturales $a$ con la siguiente propiedad: El número $z = n^4 + a$ no es primo para ningún número natural $n$.

Encuentre todos los números reales $\lambda$ tales que la ecuación $\sin^4 x - \cos^4 x = \lambda(\tan^4 x - \cot^4 x)$ $(a)$ no tenga solución, $(b)$ tenga exactamente una solución, $(c)$ tenga exactamente dos soluciones, $(d)$ tenga más de dos soluciones (en el intervalo $(0, \frac{\pi}{4})$.

Definamos $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n, a$ y $b$ siendo enteros positivos. Exprese $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b$. Demuestre el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestre que $b$ divide a $a(u_b -1)$.

El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestre que, sujeto a restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y sobre cuya superficie se encuentran los puntos $A, B, C, D$. ¿Cuáles son las restricciones?

Un sólido liso consiste en un cilindro circular recto de altura $h$ y radio de base $r$, coronado por un hemisferio de radio $r$ y centro $O$. El sólido se apoya sobre una mesa horizontal. Un extremo de una cuerda está unido a un punto de la base. La cuerda se estira (inicialmente manteniéndose en el plano vertical) sobre el punto más alto del sólido y se mantiene presionada en el punto $P$ del hemisferio de manera que $OP$ forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal. Demuestre que si $\alpha$ es suficientemente pequeño, la cuerda se aflojará si se desplaza ligeramente y ya no permanecerá en un plano vertical. Si luego se tensa a través de $P$, demuestre que cruzará la sección circular común del hemisferio y el cilindro en un punto $Q$ tal que $\angle SOQ = \phi$, siendo $S$ donde inicialmente cruzó esta sección, y $\sin \phi = \frac{r \tan \alpha}{h}$.

Sean $a, b, x, y$ enteros positivos tales que $a$ y $b$ no tienen un divisor común mayor que $1$ . Demuestra que el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ es $ab - a - b$ . Si $N(k)$ es el número más grande que no se puede expresar en la forma $ax + by$ de solo $k$ maneras, encuentra $N(k).$