El polinomio $P(x) = a_0x^k + a_1x^{k-1} + \cdots + a_k$ , donde $a_0,\cdots, a_k$ son enteros, se dice que es divisible por un entero $m$ si $P(x)$ es un múltiplo de $m$ para cada valor entero de $x$ . Muestra que si $P(x)$ es divisible por $m$ , entonces $a_0 \cdot k!$ es un múltiplo de $m$ . También demuestra que si $a, k,m$ son enteros positivos tales que $ak!$ es un múltiplo de $m$ , entonces un polinomio $P(x)$ con término principal $ax^k$ puede ser encontrado que es divisible por $m.$

Considera el entero $d = \frac{a^b-1}{c}$ , donde $a, b$ , y $c$ son enteros positivos y $c \le a.$ Demuestra que el conjunto $G$ de enteros que están entre $1$ y $d$ y son relativamente primos con $d$ (el número de tales enteros se denota por $\phi(d)$ ) puede ser particionado en $n$ subconjuntos, cada uno de los cuales consiste de $b$ elementos. ¿Qué se puede decir sobre el número racional $\frac{\phi(d)}{b}?$

Sea $\alpha(n)$ el número de pares $(x, y)$ de enteros tales que $x+y = n, 0 \le y \le x$ , y sea $\beta(n)$ el número de triples $(x, y, z)$ tales que $ x + y + z = n$ y $0 \le z \le y \le x.$ Encuentra una relación simple entre $\alpha(n)$ y la parte entera del número $\frac{n+2}{2}$ y la relación entre $\beta(n), \beta(n -3)$ y $\alpha(n).$ Luego evalúa $\beta(n)$ como una función del residuo de $n$ módulo $6$ . ¿Qué se puede decir sobre $\beta(n)$ y $1+\frac{n(n+6)}{12}$ ? ¿Y qué sobre $\frac{(n+3)^2}{6}$ ? Encuentra el número de triples $(x, y, z)$ con la propiedad $x+ y+ z \le n, 0 \le z \le y \le x$ como una función del residuo de $n$ módulo $6.$ ¿Qué se puede decir sobre la relación entre este número y el número $\frac{(n+6)(2n^2+9n+12)}{72}$ ?

Un triángulo rectángulo $OAB$ tiene su ángulo recto en el punto $B.$ Un círculo arbitrario con centro en la línea $OB$ es tangente a la línea $OA.$ Sea $AT$ la tangente al círculo diferente de $OA$ ( $T$ es el punto de tangencia). Demuestra que la mediana desde $B$ del triángulo $OAB$ intersecta a $AT$ en un punto $M$ tal que $MB = MT.$

Se da un polígono (no necesariamente convexo) con vértices en los puntos de la red de una cuadrícula rectangular. El área del polígono es $S.$ Si $I$ es el número de puntos de la red que están estrictamente en el interior del polígono y B el número de puntos de la red en el borde del polígono, encuentra el número $T = 2S- B -2I + 2.$

Sea $n$ un entero que no es divisible por ningún cuadrado mayor que $1.$ Denotemos por $x_m$ el último dígito del número $x^m$ en el sistema numérico con base $n.$ ¿Para qué enteros $x$ es posible que $x_m$ sea $0$ ? Demuestra que la secuencia $x_m$ es periódica con período $t$ independiente de $x.$ ¿Para qué $x$ tenemos $x_t = 1$ ? Demuestra que si $m$ y $x$ son relativamente primos, entonces $0_m, 1_m, . . . , (n-1)_m$ son números diferentes. Encuentra el período mínimo $t$ en términos de $n$ . Si n no cumple la condición dada, demuestra que es posible tener $x_m = 0 \neq x_1$ y que la secuencia es periódica comenzando solo desde algún número $k > 1.$

Sean $a$ y $b$ dos enteros no negativos. Denotemos por $H(a, b)$ el conjunto de números $n$ de la forma $n = pa + qb,$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Determina $H(a) = H(a, a)$ . Demuestra que si $a \neq b,$ es suficiente conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ para números coprimos $a, b$ para conocer todos los conjuntos $H(a, b)$ . Demuestra que en el caso de números coprimos $a$ y $b, H(a, b)$ contiene todos los números mayores o iguales a $\omega = (a - 1)(b -1)$ y también $\frac{\omega}{2}$ números menores que $\omega$

Sean $d$ y $p$ dos números reales. Encuentra el primer término de una progresión aritmética $a_1, a_2, a_3, \cdots$ con diferencia $d$ tal que $a_1a_2a_3a_4 = p.$ Encuentra el número de soluciones en términos de $d$ y $p.$

Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ con lados $AB = a, BC = b, CD = c, DA = d$ y ángulos $\alpha = \angle DAB, \beta = \angle ABC, \gamma = \angle BCD,$ y $\delta = \angle CDA$. Sea $s = \frac{a + b + c +d}{2}$ y $P$ el área del cuadrilátero. Demuestra que $P^2 = (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd \cos^2\frac{\alpha +\gamma}{2}$

Sean $K_1,\cdots , K_n$ enteros no negativos. Demuestre que $K_1!K_2!\cdots K_n! \ge \left[\frac{K}{n}\right]!^n$ , donde $K = K_1 + \cdots + K_n$