Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestre que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$ Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestre que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tal que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$

Sea $p$ un número primo impar. ¿Es posible encontrar $p-1$ números naturales $n + 1, n + 2, . . . , n + p -1$ tal que la suma de los cuadrados de estos números sea divisible por la suma de estos números?

Dado un cubo unitario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran en los lados del cubo.

Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Suponga que existe un par de puntos que no pueden unirse mediante una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z$. Llamemos a tal par de puntos no unibles. Demuestre que para cada $r > 0$ real, existe un par de puntos no unibles separados por una distancia $r$.

Sea $M$ el punto dentro del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestre que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$

Cien polígonos convexos se colocan en un cuadrado con un lado de longitud $38 cm.$ El área de cada uno de los polígonos es menor que $\pi cm^2,$ y el perímetro de cada uno de los polígonos es menor que $2\pi cm.$ Demuestre que existe un disco con radio $1$ en el cuadrado que no intersecta ninguno de los polígonos.

Encuentre todas las funciones $f$ definidas para todas las $x$ que satisfacen la condición $xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y),$ para todas las $x$ e $y.$ Demuestre que exactamente dos de ellas son continuas.

Demuestre que la ecuación $\sqrt{x^3 + y^3 + z^3}=1969$ no tiene soluciones integrales.

Evalúe $\left(\cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4}\right)^{10}$ de dos maneras diferentes y demuestre que $\dbinom{10}{1}-\dbinom{10}{3}+\frac{1}{2}\dbinom{10}{5}=2^4$

Sea $G$ el centroide del triángulo $OAB$. (a) Demuestra que todas las cónicas que pasan por los puntos $O, A, B, G$ son hipérbolas. (b) Halla el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas.