Sea $O$ un punto en una cónica no degenerada. Un ángulo recto con vértice $O$ interseca la cónica en los puntos $A$ y $B$. Demuestra que la línea $AB$ pasa a través de un punto fijo localizado en la normal a la cónica a través del punto $O$.

Construye el círculo que es tangente a tres círculos dados.

(a) Halla las ecuaciones de las hipérbolas regulares que pasan por los puntos $A(\alpha, 0), B(\beta, 0),$ y $C(0, \gamma)$. (b) Demuestra que todas estas hipérbolas pasan por el ortocentro $H$ del triángulo $ABC$. (c) Halla el lugar geométrico de los centros de estas hipérbolas. (d) Verifica si este lugar geométrico coincide con el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$.

Una parábola $P_1$ con ecuación $x^2 - 2py = 0$ y una parábola $P_2$ con ecuación $x^2 + 2py = 0, p > 0$ son dadas. Una línea $t$ es tangente a $P_2$. Halla el lugar geométrico del polo $M$ de la línea $t$ con respecto a $P_1$.

Para cada número real $x_1$, construye la sucesión $x_1,x_2,\ldots$ estableciendo: \[ x_{n+1}=x_n(x_n+{1\over n}). \] Demuestra que existe exactamente un valor de $x_1$ que da $0<x_n<x_{n+1}<1$ para todo $n$.

Un círculo con centro $O$ pasa por los vértices $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ e interseca los segmentos $AB$ y $BC$ nuevamente en puntos distintos $K$ y $N$ respectivamente. Sea $M$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $KBN$ (aparte de $B$). Demuestra que $\angle OMB=90^{\circ}$.

Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $23$, demuestra que $M$ contiene un subconjunto de $4$ elementos cuyo producto es la cuarta potencia de un entero.

Para cualquier polinomio $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_kx^k$ con coeficientes enteros, el número de coeficientes impares se denota por $o(P)$. Para $i=0,1,2,\ldots$ sea $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demuestra que si $i_1,i_2,\ldots,i_n$ son enteros que satisfacen $0\le i_1<i_2<\ldots<i_n$, entonces: \[ o(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\ge o(Q_{i_1}). \]

Sean $n$ y $k$ enteros positivos relativamente primos con $k<n$. Cada número en el conjunto $M=\{1,2,3,\ldots,n-1\}$ se colorea de azul o blanco. Para cada $i$ en $M$, tanto $i$ como $n-i$ tienen el mismo color. Para cada $i\ne k$ en $M$ tanto $i$ como $|i-k|$ tienen el mismo color. Demuestra que todos los números en $M$ deben tener el mismo color.

Un círculo tiene su centro en el lado $AB$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$. Los otros tres lados son tangentes al círculo. Demuestra que $AD+BC=AB$.