Pruebe: Si la suma de todos los divisores positivos de $ n \in \mathbb{Z}^{+}$ es una potencia de dos, entonces el número/cantidad de los divisores es una potencia de dos.

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $ E$ un punto tal que $ E$ y $ B$ están en lados distintos de la línea $ AC,$ y $ D$ es un punto interior del segmento $ AE.$ Tenemos $ \angle ADB = \angle CDE,$ $ \angle BAD = \angle ECD,$ y $ \angle ACB = \angle EBA.$ Pruebe que $ B, C$ y $ E$ se encuentran en la misma línea.

En una pizarra hay $ n \geq 2, n \in \mathbb{Z}^{+}$ números. En cada paso seleccionamos dos números de la pizarra y reemplazamos ambos por su suma. Determine todos los números $ n$ para los cuales es posible obtener $ n$ números idénticos después de un número finito de pasos.

Determine todas las funciones $ f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ x f(x + xy) = x f(x) + f \left( x^2 \right) f(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{R}.\]

Determine todos los $ k \in \mathbb{Z}$ tales que $ \forall n$ los números $ 4n+1$ y $ kn+1$ no tienen divisor común.

Sea $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AC = BC.$ Su incírculo toca a $ AB$ en $ D$ y a $ BC$ en $ E.$ Una línea distinta de $ AE$ pasa por $ A$ e intersecta al incírculo en $ F$ y $ G.$ La línea $ AB$ intersecta a las líneas $ EF$ y $ EG$ en $ K$ y $ L,$ respectivamente. Pruebe que $ DK = DL.$

Considere un tablero de ajedrez de $ n \times n$ con $ n > 1, n \in \mathbb{N}.$ ¿Cuántas posibilidades hay de colocar $ 2n - 2$ guijarros idénticos en el tablero de ajedrez (cada uno en un campo/lugar diferente) de tal manera que no haya dos guijarros en la misma diagonal del tablero de ajedrez? Dos guijarros están en la misma diagonal del tablero de ajedrez si el segmento de conexión de los puntos medios de los campos respectivos es paralelo a una de las diagonales del cuadrado $ n \times n$.

Sea $ (a_n)^{\infty}_{n=1}$ una secuencia de enteros con $ a_{n} < a_{n+1}, \quad \forall n \geq 1.$ Para toda cuádrupla $ (i,j,k,l)$ de índices tal que $ 1 \leq i < j \leq k < l$ e $ i + l = j + k$ tenemos la desigualdad $ a_{i} + a_{l} > a_{j} + a_{k}.$ Determine el menor valor posible de $ a_{2008}.$

La secuencia $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones:\n(i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ ,\n(ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todo $1\le k<\ell$ .\nDemuestre que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ .

Sea $\mathbb R$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ que satisfacen la ecuación \[f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)\] para todos los números reales $x$ e $y$ .