El triángulo $ABC$ tiene circuncírculo $\Omega$ y circuncentro $O$ . Un círculo $\Gamma$ con centro $A$ interseca el segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$ , de modo que $B$ , $D$ , $E$ , y $C$ son todos diferentes y están en la línea $BC$ en este orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$ , de modo que $A$ , $F$ , $B$ , $C$ , y $G$ están en $\Omega$ en este orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$ . Sea $L$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$ . Suponga que las líneas $FK$ y $GL$ son diferentes y se intersecan en el punto $X$ . Demuestre que $X$ está en la línea $AO$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB > AC$ . Sea $\Gamma $ su circuncírculo, $H$ su ortocentro, y $F$ el pie de la altura desde $A$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $Q$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HQA = 90^{\circ}$ y sea $K$ el punto en $\Gamma$ tal que $\angle HKQ = 90^{\circ}$ . Suponga que los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $K$ y $Q$ son todos diferentes y están en $\Gamma$ en este orden. Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $KQH$ y $FKM$ son tangentes entre sí.

Encuentra todos los enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$ son todas potencias de $2$ .

Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si, para cualesquiera dos puntos diferentes $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$ , existe un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$ . Decimos que $\mathcal{S}$ es libre de centro si para cualesquiera tres puntos diferentes $A$ , $B$ y $C$ en $\mathcal{S}$ , no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$ . \n(a) Demostrar que para todo entero $n\ge 3$ , existe un conjunto equilibrado que consta de $n$ puntos.\n(b) Determinar todos los enteros $n\ge 3$ para los cuales existe un conjunto equilibrado libre de centro que consta de $n$ puntos.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$ . Una línea $r$ que pasa por el incentro $I$ de $ABC$ toca los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$ , respectivamente. Sean $F$ y $G$ puntos en $BC$ tales que $BF=CE$ y $CG=BD$ . Demuestra que el ángulo $\angle FIG$ es constante cuando variamos la línea $r$ .

En el plano cartesiano dibujamos circunferencias de radio 1/20 centradas en cada punto reticular. Demuestra que cualquier circunferencia de radio 100 en el plano cartesiano interseca al menos una de las circunferencias pequeñas.

Decimos que un número de 20 dígitos es especial si es imposible representarlo como un producto de un número de 10 dígitos por un número de 11 dígitos. Encuentra la cantidad máxima de números consecutivos que son especiales.

La unidad monetaria de un cierto país se llama Reo, y todas las monedas que circulan son valores enteros de Reos. En un grupo de tres personas, cada una tiene 60 Reos en monedas (pero no sabemos qué tipo de monedas tiene cada una). Cada una de las tres personas puede pagar a las demás cualquier valor entero entre 1 y 15 Reos, incluyendo, quizás con cambio. Demuestra que las tres personas juntas pueden pagar exactamente (sin cambio) cualquier valor entero entre 45 y 135 Reos, inclusive.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $AN$ , $BM$ y $CP$ las alturas con respecto a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Sean $R$ , $S$ las proyecciones de $N$ en los lados $AB$ , $CA$ , respectivamente, y sean $Q$ , $W$ las proyecciones de $N$ en las alturas $BM$ y $CP$ , respectivamente.\n(a) Demuestra que $R$ , $Q$ , $W$ , $S$ son colineales.\n(b) Demuestra que $MP=RS-QW$ .

Sea $a_n$ el último dígito de la suma de los dígitos de $20052005...2005$ , donde el bloque $2005$ ocurre $n$ veces. Encuentra $a_1 +a_2 + \dots +a_{2005}$ .