Sea $a_1, a_2, a_3, \ldots$ una secuencia de números reales positivos, y $s$ un entero positivo, tal que\n\[a_n = \max \{ a_k + a_{n-k} \mid 1 \leq k \leq n-1 \} \ \textrm{ para todo } \ n > s.\]\nDemostrar que existen enteros positivos $\ell \leq s$ y $N$ , tales que\n\[a_n = a_{\ell} + a_{n - \ell} \ \textrm{ para todo } \ n \geq N.\]

Encontrar todas las funciones $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que\n\[\left(g(m)+n\right)\left(g(n)+m\right)\]\nes un cuadrado perfecto para todo $m,n\in\mathbb{N}.$

Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ inicialmente contiene una moneda. Se permiten las siguientes operaciones Tipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , quitar una moneda de $B_j$ y agregar dos monedas a $B_{j+1}$ ; Tipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , quitar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos (posiblemente vacíos) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ . Determinar si existe una secuencia finita de operaciones de los tipos permitidos, de modo que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contenga exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas.

Sea $P$ un punto interior al triángulo $ABC$ (con $CA \neq CB$ ) . Las líneas $AP$ , $BP$ y $CP$ se encuentran nuevamente con su circuncírculo $\Gamma$ en $K$ , $L$ , respectivamente $M$ . La línea tangente en $C$ a $\Gamma$ se encuentra con la línea $AB$ en $S$ . Demostrar que de $SC = SP$ se deduce $MK = ML$ .

Dado un triángulo $ABC$ , con $I$ como su incentro y $\Gamma$ como su circuncírculo, $AI$ interseca a $\Gamma$ nuevamente en $D$ . Sea $E$ un punto en el arco $BDC$ , y $F$ un punto en el segmento $BC$ , tal que $\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC$ . Si $G$ es el punto medio de $IF$ , probar que el punto de encuentro de las líneas $EI$ y $DG$ se encuentra en $\Gamma$ .

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple la siguiente igualdad\n\[\nf(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor\n\] donde $\left\lfloor a\right\rfloor $ es el mayor entero no mayor que $a.$

Los grados de los polinomios $P$ y $Q$ con coeficientes reales no superan $n$ . Estos polinomios satisfacen la identidad \[ P(x) x^{n + 1} + Q(x) (x+1)^{n + 1} = 1. \] Determine todos los valores posibles de $Q \left( - \frac{1}{2} \right)$ .

Varios policías intentan atrapar a un ladrón que tiene $2m$ cómplices. Para ello, ponen a los cómplices bajo vigilancia. Al principio, los policías no vigilan a nadie. Cada mañana, cada policía pone bajo su vigilancia a uno de los cómplices. Cada noche, el ladrón deja de confiar en uno de sus cómplices. El ladrón es capturado si en la $m$ -ésima noche algún policía vigila exactamente a esos $m$ cómplices en los que el ladrón todavía confía. Demuestre que para garantizar la captura del ladrón se necesitan al menos $2^m$ policías.

Se da un triángulo isósceles $ABC$ ( $AB = BC$ ). Los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ se encuentran en el ángulo $ABC$ y tocan los lados $AB$ y $CB$ en $A$ y $C$ respectivamente, y se tocan externamente en el punto $X$ . El lado $AC$ se encuentra con los círculos nuevamente en los puntos $Y$ y $Z$ . $O$ es el circuncentro del triángulo $XYZ$ . Las rectas $O_2 O$ y $O_1 O$ intersectan las rectas $AB$ y $BC$ en los puntos $C_1$ y $A_1$ respectivamente. Demuestre que $B$ es el circuncentro del triángulo $A_1 OC_1$ .

Se dibujan en el plano los ejes de coordenadas (sin marcas, con la misma escala) y la gráfica de un trinomio cuadrático $y = x^2 + ax + b$ . Los números $a$ y $b$ no se conocen. ¿Cómo dibujar un segmento unitario usando solo regla y compás?