Dados los números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$ . Sea \[ m = \min \left( a_1 + \frac{1}{a_2}, a_2 + \frac{1}{a_3}, \dots, a_{n - 1} + \frac{1}{a_n} , a_n + \frac{1}{a_1} \right). \] Demuestre la desigualdad \[ \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} + \frac{1}{\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}} \ge m. \]

Para cada entero positivo $k$ , sea $g(k)$ el número máximo posible de puntos en el plano tales que las distancias entre pares de estos puntos tienen solo $k$ valores diferentes. Demuestre que existe $k$ tal que $g(k) > 2k + 2020$ .

Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en las rectas $BC$ y $AC$ respectivamente de modo que $B$ está entre $C$ y $D$ , $C$ está entre $A$ y $E$ , $BC = BD$ y $\angle BAD = \angle CDE$ . Se sabe que la razón entre los perímetros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ es $2$ . Encuentre la razón entre las áreas de estos triángulos.

¿El sistema de ecuaciones \n\begin{align*}\n\begin{cases}\nx_1 + x_2 &= y_1 + y_2 + y_3 + y_4 \\\nx_1^2 + x_2^2 &= y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 \\\nx_1^3 + x_2^3 &= y_1^3 + y_2^3 + y_3^3 + y_4^3\n\end{cases}\n\end{align*}admite una solución en enteros tal que el valor absoluto de cada uno de estos enteros sea mayor que $2020$ ?

En una tira horizontal de $1 \times n$ hecha de $n$ cuadrados unitarios, los vértices de todos los cuadrados están marcados. La tira se divide en partes por segmentos que conectan puntos marcados y que no se encuentran en los lados de la tira. Los segmentos no pueden tener puntos interiores en común; el extremo superior de cada segmento debe estar por encima del extremo inferior o más a la derecha. Demuestre que el número de todas las particiones es divisible por $2^n$ . (La partición donde no se dibujan segmentos, también se cuenta.)

¿Cuántos enteros positivos $N$ en el segmento $\left[10, 10^{20} \right]$ son tales que si todos sus dígitos se incrementan en $1$ y luego se multiplican, el resultado es $N+1$ ?

$AK$ y $BL$ son alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ . Se elige un punto $P$ en el segmento $AK$ de modo que $LK=LP$ . La paralela a $BC$ que pasa por $P$ se encuentra con la paralela a $PL$ que pasa por $B$ en el punto $Q$ . Demuestre que $\angle AQB = \angle ACB$ .

Se dibujan en el plano los ejes de coordenadas (sin marcas, con la misma escala) y la gráfica de un trinomio cuadrático $y = x^2 + ax + b$ . Los números $a$ y $b$ no se conocen. ¿Cómo dibujar un segmento unitario usando solo regla y compás?

Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en las rectas $BC$ y $AC$ respectivamente de modo que $B$ está entre $C$ y $D$ , $C$ está entre $A$ y $E$ , $BC = BD$ y $\angle BAD = \angle CDE$ . Se sabe que la razón entre los perímetros de los triángulos $ABC$ y $ADE$ es $2$ . Encuentre la razón entre las áreas de estos triángulos.

Cada arista de un grafo completo con $101$ vértices está marcada con $1$ o $-1$ . Se sabe que el valor absoluto de la suma de los números en todas las aristas es menor que $150$ . Demuestre que el grafo contiene un camino que visita cada vértice exactamente una vez tal que la suma de los números en todas las aristas de este camino es cero.