4 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Denotaremos el conjunto de todos los números primos por $\mathbb P$ . Demuestre que el conjunto $\mathbb S := \{p\in\mathbb P : \exists\text{ }n \text{ s.t. }p\mid P(n)\}$ es finito si y solo si $P(x)$ es un polinomio constante no nulo.

1 Compare los siguientes dos números: $2^{2^{2^{2^{2}}}}$ y $3^{3^{3^{3}}}$ .

4 Sean $a,b,c$ tres enteros positivos. Demuestre que $4$ divide a $a^2+b^2+c^2$ si y solo si $a,b,c$ son pares.

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ tales que para todos los números reales $x,y$ : $f(x)f(y)+f(xy)\leq x+y$ .

2 ¿Existe un número natural $n$ tal que $n!$ termina exactamente en $2021$ ceros?

4 Sea $M$ el punto medio del segmento $BC$ de $\triangle ABC$ . Sea $D$ un punto tal que $AD=AB$ , $AD\perp AB$ y los puntos $C$ y $D$ están en lados diferentes de $AB$ . Demuestre que: $$\sqrt{AB\cdot AC+BC\cdot AM}\geq\frac{\sqrt{2}}{2}CD.$$

3 Demuestre que para cualesquiera números naturales $a,b,c$ y $d$ existen infinitos números naturales $n$ tales que $a^n+b^n+c^n+d^n$ es compuesto.

1 Nueve pesas están colocadas en una balanza con los respectivos valores $1kg,2kg,...,9kg$ . ¿De cuántas maneras podemos colocar seis pesas en el lado izquierdo y tres pesas en el lado derecho de modo que el lado derecho sea más pesado que el izquierdo?

3 Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos tales que $a^5+b^5+c^5=ab^2+bc^2+ca^2$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{a^2+b^2}{b}+\frac{b^2+c^2}{c}+\frac{c^2+a^2}{a}\geq 2(ab+bc+ca).$$

2 Halle todos los enteros positivos $x$ , $y$ tales que $2^x+5^y+2$ es un cuadrado perfecto.