C4 Sea $n \geq 2$ un entero positivo. Sea $\mathcal{R}$ un conjunto conexo de cuadrados unitarios en una cuadrícula. Una barra es un rectángulo de largo o ancho $1$ que está totalmente contenido en $\mathcal{R}$ . Una barra es especial si no está totalmente contenida en ninguna barra más grande. Dado que $\mathcal{R}$ contiene barras especiales de tamaños $1 \times 2,1 \times 3,\ldots,1 \times n$ , halle el menor número posible de cuadrados unitarios en $\mathcal{R}$ . Srinivas Arun

G7 Sea $ABC$ un triángulo. Construya rectángulos $BA_1A_2C$ , $CB_1B_2A$ y $AC_1C_2B$ exteriores a $ABC$ tales que $\angle BCA_1=\angle CAB_1=\angle ABC_1$ . Sean $A_1B_2$ y $A_2C_1$ que se intersecan en $A'$ y defina $B',C'$ de manera similar. Demuestre que la recta $AA'$ biseca a $B'C'$ . Linus Tang

A3 ¿Existe una sucesión infinita de enteros \(a_0\) , \(a_1\) , \(a_2\) , \(\ldots\) tal que \(a_0\ne0\) y, para cualquier entero \(n\ge0\) , el polinomio \[P_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\] tenga \(n\) raíces reales distintas? Propuesto por Amol Rama y Espen Slettnes

C7 Sea $n\ge 2$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $n\times n$ formada por $n^2$ triángulos equiláteros. Dos triángulos son adyacentes si comparten al menos un vértice. Cada triángulo está coloreado de rojo o azul, dividiendo la cuadrícula en regiones. Halle, con demostración, el número mínimo de triángulos en la región más grande. Rohan Bodke

C8 Sea $n\ge5$ un entero. Un trapecio con bases de longitudes $1$ y $r$ está embaldosado por $n$ triángulos equiláteros (no necesariamente congruentes). En términos de $n$ , halle el máximo valor posible de $r$ . Linus Tang

G2 Sea $ABC$ un triángulo. Suponga que $D$ , $E$ y $F$ son puntos en los segmentos $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$ , respectivamente, tales que los triángulos $AEF$ , $BFD$ y $CDE$ tienen inradios iguales. Demuestre que la suma de los inradios de $\triangle AEF$ y $\triangle DEF$ es igual al inradio de $\triangle ABC$ . Aprameya Tripathy

G5 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $\overline{BC}$ . Sean $P$ y $Q$ puntos en las circunferencias circunscritas de los triángulos $AOB$ y $AOC$ , respectivamente, tales que $A$ , $P$ y $Q$ son colineales. Demuestre que si la circunferencia circunscrita del triángulo $OPQ$ es tangente a $\omega$ en $T$ , entonces $\angle BTD=\angle CAP$ . Tiger Zhang

G4 En el cuadrilátero $ABCD$ con incentro $I$ , los puntos $W,X,Y,Z$ se encuentran en los lados $AB, BC,CD,DA$ con $AZ=AW$ , $BW=BX$ , $CX=CY$ , $DY=DZ$ . Defina $T=\overline{AC}\cap\overline{BD}$ y $L=\overline{WY}\cap\overline{XZ}$ . Sean los puntos $O_a,O_b,O_c,O_d$ tales que $\angle O_aZA=\angle O_aWA=90^\circ$ (y las variantes cíclicas), y $G=\overline{O_aO_c}\cap\overline{O_bO_d}$ . Demuestre que $\overline{IL}\parallel\overline{TG}$ . Neal Yan

G6 En el triángulo $ABC$ con $AB<AC$ y $AB+AC=2BC$ , sea $M$ el punto medio de $\overline{BC}$ . Elija el punto $P$ en la prolongación de $\overline{BA}$ más allá de $A$ y el punto $Q$ en el segmento $\overline{AC}$ tales que $M$ se encuentre en $\overline{PQ}$ . Sea $X$ en el lado de $\overline{AB}$ opuesto a $C$ tal que $\overline{AX} \parallel \overline{BC}$ y $AX=AP=AQ$ . Sea $\overline{BX}$ que corta a la circunferencia circunscrita de $BMQ$ de nuevo en $Y \neq B$ , y sea $\overline{CX}$ que corta a la circunferencia circunscrita de $CMP$ de nuevo en $Z \neq C$ . Demuestre que $A$ , $Y$ y $Z$ son colineales. Tiger Zhang

G1 En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , sean las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ que se intersecan en $E$ . Las circunferencias circunscritas de $ADE$ y $BCE$ cortan a $\overline{AB}$ de nuevo en $P \neq A$ y $Q \neq B$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ACP$ corta a $\overline{AD}$ de nuevo en $R \neq A$ , y la circunferencia circunscrita de $BDQ$ corta a $\overline{BC}$ de nuevo en $S \neq B$ . Demuestre que $A$ , $B$ , $R$ y $S$ son concíclicos. Tiger Zhang