3 Demuestre que $\frac1{15} < \frac12\cdot\frac34\cdots\frac{99}{100} < \frac1{10}$

2 Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en $S$ . La tangente a $C_1$ en $S$ interseca a $C_2$ en $A$ , distinto de $S$ . La tangente a $C_2$ en $S$ interseca a $C_1$ en $B$ , distinto de $S$ . Otro círculo $C_3$ pasa por $A, B, S$ . La tangente a $C_3$ en $S$ interseca a $C_1$ en $P$ , distinto de $S$ , y a $C_2$ en $Q$ , distinto de $S$ . Demuestre que la distancia $PS$ es igual a la distancia $QS$ .

1 El fútbol de 3 se juega de la siguiente manera: 2 jugadores de campo intentan marcar un gol al portero; el que marca el gol es portero en el siguiente juego, etc. Arne, Bart y Cauchy jugaron este juego. Más tarde, le dicen a su profesor de matemáticas que A estuvo 12 veces en el campo, B 21 veces en el campo y C 8 veces en la portería. Su profesor sabe quién marcó el sexto gol. ¿Quién lo marcó?

4 Considere todos los puntos de coordenadas enteras en el plano cartesiano. Si se traza un círculo con centro M(0,0) y un radio r bien elegido, el círculo pasa por algunos de esos puntos (por ejemplo, el círculo con $r=2\sqrt2$ pasa por 4 puntos). Demuestre que $\forall n\in \mathbb{N}, \exists r$ tal que el círculo con centro 0,0 y radio $r$ pasa por al menos $n$ puntos.

3 Sea $p_n$ el $n$ -ésimo primo ( $p_1=2$ ). Defina la sucesión $(f_j)$ de la siguiente manera: - $f_1=1, f_2=2$ - $\forall j\ge 2$ : si $f_j = kp_n$ con $k<p_n$ entonces $f_{j+1}=(k+1)p_n$ - $\forall j\ge 2$ : si $f_j = p_n^2$ entonces $f_{j+1}=p_{n+1}$ (a) Demuestre que todos los $f_i$ son diferentes (b) ¿a partir de qué índice todos los $f_i$ tienen al menos 3 cifras? (c) ¿qué enteros no aparecen en la sucesión? (d) ¿cuántos números con menos de 3 cifras aparecen en la sucesión?

1 Determine todos los números de 6 cifras $(abcdef)$ tales que $(abcdef) = (def)^2$ , donde $\left( x_1x_2...x_n \right)$ no es una multiplicación sino un número de n cifras.

2 Sea $[mn]$ un diámetro del círculo $C$ y $[AB]$ una cuerda de longitud dada sobre este círculo. $[AB]$ no coincide ni es perpendicular a $[MN]$ . Sean $C,D$ las proyecciones ortogonales de $A$ y $B$ sobre $[MN]$ y $P$ el punto medio de $[AB]$ . Demuestre que $\angle CPD$ no depende de la cuerda $[AB]$ .

3 Determine todas las $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ para las cuales \[ 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y \textrm{ and } f(x)\cdot g(x) \geq x+1. \]

4 Sean $a,b,m,n$ números enteros mayores que 1. Si $a^n-1$ y $b^m+1$ son ambos primos, dé tanta información como sea posible sobre $a,b,m,n$ .

1 Demuestre que existen enteros positivos a,b,c para los cuales $a+b+c=1998$ , el mcd es máximo y $0<a<b\leq c<2a$ . Halle esos números. ¿Son únicos?