7 7. Hay 100 alfiles de ajedrez en las casillas blancas de un tablero de ajedrez de $100 \times 100$ . Algunos de ellos son blancos y algunos son negros. Pueden moverse en cualquier orden y capturar a los alfiles del color contrario. ¿Qué número de movimientos es suficiente con seguridad para que quede solo un alfil en el tablero de ajedrez?

4 Considere una circunferencia fija $\Gamma$ con tres puntos fijos $A, B,$ y $C$ sobre ella. Además, fijemos un número real $\lambda \in(0,1)$ . Para un punto variable $P \not\in\{A, B, C\}$ de $\Gamma$ , sea $M$ el punto del segmento $CP$ tal que $CM =\lambda\cdot CP$ . Sea $Q$ el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $AMP$ y $BMC$ . Demuestre que, a medida que $P$ varía, el punto $Q$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Jack Edward Smith, Reino Unido

1 Sean $ m$ y $ n$ dos enteros positivos distintos. Demuestre que existe un número real $ x$ tal que $ \frac {1}{3}\le\{xn\}\le\frac {2}{3}$ y $ \frac {1}{3}\le\{xm\}\le\frac {2}{3}$ . Aquí, para cualquier número real $ y$ , $ \{y\}$ denota la parte fraccionaria de $ y$ . Por ejemplo, $ \{3.1415\} = 0.1415$ .

Sean $p$ y $q$ enteros positivos distintos. Demuestre que al menos una de las ecuaciones $x^2+px+q=0$ y $x^2+qx+p=0$ tiene una raíz real.

Halle todos los enteros positivos $n$ tales que tanto $n$ como $n + 100$ tengan un número impar de divisores.

Dado un triángulo $ABC$ , sea $K$ el punto medio de $AB$ y $L$ el punto sobre el lado $AC$ tal que $AL = LC + CB$ . Muestre que si $\angle KLB = 90^o$ entonces $AC = 3 CB$ y, recíprocamente, si $AC = 3 CB$ entonces $\angle KLB = 90^o$ .

4 Halle todas las funciones $~$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ $~$ que satisfacen la ecuación \[ f(x+yf(x))\, =\, f(f(x)) + xf(y)\, . \]

Dos círculos son tangentes en $M$ y están dentro de un rectángulo $ABCD$ . Uno de ellos es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , y el otro es tangente a $AD,BC,CD$ . El radio del segundo círculo es cuatro veces el del primero. Halle la razón en la que la tangente común de los círculos en $M$ divide a $AB$ y $CD$ .

Algunos estudiantes de un grupo eran amigos de algunos otros. Un día todos los estudiantes del grupo participan en un picnic. Durante el picnic algunos amigos se pelearon entre sí, pero algunos otros estudiantes se hicieron amigos. Después del picnic, el número de amigos de cada estudiante cambió en $1$ . Demuestre que el número de estudiantes del grupo era par.

1 1. Al barón Munchhausen le dijeron que cierto polinomio $P(x)=a_{n} x^{n}+\ldots+a_{1} x+a_{0}$ es tal que $P(x)+P(-x)$ tiene exactamente 45 raíces reales distintas. El barón no sabe el valor de $n$ . Sin embargo, afirma que puede determinar uno de los coeficientes $a_{n}, \ldots, a_{1}, a_{0}$ (indicando su posición y su valor). ¿Se equivoca el barón? Boris Frenkin