1 Considere el $\triangle MAB$ con un ángulo recto en $A$ y circunferencia circunscrita $\omega$ . Tome cualquier cuerda $CD$ perpendicular a $AB$ tal que $A, C, B, D, M$ se encuentren sobre $\omega$ en ese orden. Las rectas $AC$ y $MD$ se intersecan en el punto $E$ , y sea $O$ el circuncentro del $\triangle EMC$ . Muestre que si $J$ es la intersección de $BC$ y $OM$ , entonces $JB = JM$ . (Propuesto por Matthew Kung Wei Sheng e Ivan Chan Kai Chin)

2 La sucesión $1, 2, \dots, 2023, 2024$ está escrita en un pizarrón. Cada segundo, Megavan elige dos enteros $a$ y $b$ , y cuatro números consecutivos del pizarrón. Luego, contando desde la izquierda, suma $a$ al primero y al tercero de esos números, y suma $b$ al segundo y al cuarto de esos números. ¿Puede lograr la sucesión $2024, 2023, \dots, 2, 1$ en un número finito de movimientos? (Propuesto por Avan Lim Zenn Ee)

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\rightarrow\mathbb{R}^+$ tales que para todo $x, y\in\mathbb{R}^+$ , \[ \frac{f(x)}{y^2} - \frac{f(y)}{x^2} \le \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\] ( $\mathbb{R}^+$ denota el conjunto de los números reales positivos.) (Propuesto por Ivan Chan Guan Yu)

4 Minivan elige un número primo. Luego, cada segundo, añade el dígito $1$ o el dígito $3$ al extremo derecho de su número (después del dígito de las unidades), de modo que el nuevo número también sea primo. ¿Puede continuar indefinidamente? (Propuesto por Wong Jer Ren)

2 Resuelva sobre los enteros no negativos el sistema $$ \begin{cases} x+y+z^2=xyz, \\ z\leq min(x,y). \end{cases} $$

2 Sea $k>1$ . Fije una circunferencia $\omega$ con centro $O$ y radio $r$ , y fije un punto $A$ con $OA=kr$ . Sean $AB$ , $AC$ tangentes a $\omega$ . Elija un punto variable $P$ sobre el arco menor $BC$ de $\omega$ . Las rectas $AB$ y $CP$ se intersecan en $X$ y las rectas $AC$ y $BP$ se intersecan en $Y$ . Las circunferencias $(BPX)$ y $(CPY)$ se encuentran en otro punto $Z$ . Demuestre que la recta $PZ$ pasa siempre por un punto fijo excepto para un valor de $k>1$ , y determine este valor. Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

3 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ tales que para todos los enteros $x$ , $y$ , $$f(x-f(y))=f(f(y))+f(x-2y)$$ Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

4 Iván tiene un tablero de $n \times n$ . Colorea algunos de los cuadrados de negro de modo que cada cuadrado negro tenga exactamente dos cuadrados vecinos que también sean negros. Sea $d_n$ el número máximo de cuadrados negros posible; demuestre que existen algunas constantes reales $a$ , $b$ , $c\ge 0$ tales que $$an^2-bn\le d_n\le an^2+cn.$$ Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ hasta $BC$ . Sean $I_1$ , $I_2$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ respectivamente, y sean $H_1$ , $H_2$ los ortocentros de los triángulos $ABI_1$ y $ACI_2$ respectivamente. Las circunferencias $(AI_1H_1)$ y $(AI_2H_2)$ se encuentran de nuevo en $X$ . Las rectas $AH_1$ y $XI_1$ se encuentran en $Y$ , y las rectas $AH_2$ y $XI_2$ se encuentran en $Z$ . Suponga que las tangentes comunes exteriores de las circunferencias $(BI_1H_1)$ y $(CI_2H_2)$ se encuentran en $U$ . Demuestre que $UY=UZ$ . Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ , y sean $BE$ y $CF$ las alturas del triángulo. Elija dos puntos $P$ y $Q$ sobre los rayos $BH$ y $CH$ respectivamente, tales que: $\bullet$ $PQ$ es paralelo a $BC$ ; $\bullet$ El cuadrilátero $APHQ$ es cíclico. Suponga que las circunferencias circunscritas de los triángulos $APF$ y $AQE$ se encuentran de nuevo en $X\neq A$ . Demuestre que $AX$ es paralelo a $BC$ . Propuesto por Ivan Chan Kai Chin