G1 Dado un paralelogramo $ABCD$ . La recta perpendicular a $AC$ que pasa por $C$ y la recta perpendicular a $BD$ que pasa por $A$ se intersecan en el punto $P$ . El círculo con centro en el punto $P$ y radio $PC$ interseca a la recta $BC$ en el punto $X$ , ( $X \ne C$ ) y a la recta $DC$ en el punto $Y$ , ( $Y \ne C$ ) . Demuestre que la recta $AX$ pasa por el punto $Y$ .

G3 Considere el triángulo $ABC$ tal que $AB \le AC$ . El punto $D$ sobre el arco $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no contiene al punto $A$ y el punto $E$ sobre el lado $BC$ son tales que $\angle BAD = \angle CAE < \frac12 \angle BAC$ . Sea $S$ el punto medio del segmento $AD$ . Si $\angle ADE = \angle ABC - \angle ACB$ , demuestre que $\angle BSC = 2 \angle BAC$ .

G4 Sea $ABC $ un triángulo acutángulo tal que $AB\neq AC$ , con circunferencia circunscrita $ \Gamma$ y circuncentro $O$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $D$ un punto sobre $ \Gamma$ tal que $AD \perp BC$ . Sea $T$ un punto tal que $BDCT$ es un paralelogramo y $Q$ un punto en el mismo lado de $BC$ que $A$ tal que $\angle{BQM}=\angle{BCA}$ y $\angle{CQM}=\angle{CBA}$ . Sea la recta $AO$ que interseca a $ \Gamma$ en $E$ $(E\neq A)$ y sea la circunferencia circunscrita de $\triangle ETQ$ que interseca a $ \Gamma$ en el punto $X\neq E$ . Demuestre que los puntos $A,M$ y $X$ son colineales.

g2.1.4 En el triángulo $\vartriangle ABC$, $D$ es el punto medio de $BC$. Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre el lado $AC$ de modo que $AF = FE = EC$. Sea $AD$ que interseca a $BE$ y $BF$ en $G$ y $H$, respectivamente. Encuentra la razón de las áreas de $\vartriangle BGH$ y $\vartriangle ABC$.

1 Para un primo dado $ p > 2$ y un entero positivo $ k$ , sea \[ S_k = 1^k + 2^k + \ldots + (p - 1)^k\] Halle aquellos valores de $ k$ para los cuales $ p \, |\, S_k$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB < AC$ . Sea la excircunferencia opuesta a A tangente a las rectas $AB, AC$ y $BC$ en los puntos $D, E$ y $F$ , respectivamente, y sea $J$ su centro. Sea $P$ un punto sobre el lado $BC$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $BDP$ y $CEP$ se intersecan por segunda vez en $Q$ . Sea $R$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta la recta $FJ$ . Demuestre que los puntos $P, Q$ y $R$ son colineales. (La excircunferencia de un triángulo $ABC$ opuesta a $A$ es el círculo tangente al segmento $BC$ , al rayo $AB$ más allá de $B$ y al rayo $AC$ más allá de $C$ . ) Propuesto por Bozhidar Dimitrov, Bulgaria

Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $1$ y sea $O$ el punto medio de $AD$. Se dibuja un semicírculo con diámetro $AD$ dentro del cuadrado. Sea $E$ un punto sobre el lado $AB$ tal que $CE$ es tangente al círculo de centro $O$. Encuentra el área del triángulo $CBE$.

1 Una liga consta de $2024$ jugadores. Una ronda consiste en dividir a los jugadores en dos equipos diferentes y hacer que cada miembro de un equipo juegue contra cada miembro del otro equipo. Una ronda se llama balanceada si ambos equipos tienen el mismo número de jugadores. Un torneo consta de varias rondas al final de las cuales cualesquiera dos jugadores han jugado entre sí. El comité organizó el año pasado un torneo que constaba de $N$ rondas. Demuestre que el comité puede organizar este año un torneo con $N$ rondas balanceadas. Propuesto por Anant Mudgal y Navilarekallu Tejaswi

3 Halle todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación $$2020^x + 2^y = 2024^z.$$ Propuesto por Ognjen Tešić, Serbia

6 Sea $ABC$ un triángulo con punto medio $M$ de $BC$ . Un punto $X$ se llama inmaculado si la recta perpendicular desde $X$ a la recta $MX$ interseca a las rectas $AB$ y $AC$ en dos puntos que son equidistantes de $M$ . Suponga que $U, V, W$ son tres puntos inmaculados sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Demuestre que $M$ es el incentro de $\triangle UVW$ . Propuesto por Pranjal Srivastava y Rohan Goyal