8 Un punto móvil en el plano coordenado puede moverse una posición a la derecha o hacia arriba. $N$ es el número de todos los caminos: caminos en los que el punto móvil parte de $(0, 0)$ , sin pasar por $(1, 0), (2, 1), . . . , (n, n-1)$ y se mueve $2n$ veces hasta $(n, n)$ . $a_k$ es el número de caminos especiales: caminos incluidos en $N$ en los que el $k$-ésimo movimiento es hacia la derecha y el $k+1$-ésimo movimiento es hacia arriba. Halle $$\frac{1}{N} (a_1+a_2+ . . . + a_{2n-1})$$

1 En un triángulo acutángulo escaleno $\triangle ABC$ , sea $O$ el circuncentro. Sea $M$ el punto medio de $AC$ . Sea $D$ el pie de la perpendicular trazada desde $A$ hasta $BC$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle OAM$ corta a $DM$ en $P(\not= M)$ . Demuestre que $B, O, P$ son colineales.

2 Para un entero positivo $m$ , demuestre que el número de pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen las siguientes dos condiciones es par o $0$ . (i): $x^2-3y^2+2=16m$ (ii): $2y \le x-1$

3 Para todo entero no negativo $i$ , hay siete tarjetas en las que está escrito $2^i$ . ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar las tarjetas de modo que los números sumen $n$ ?

4 Los reales $a,b,c,x,y$ satisfacen $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2=1$ . Halle el valor máximo de $$(ax+by)^2+(bx+cy)^2$$

5 Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ y sea $\Gamma$ la circunferencia inscrita. La circunferencia circunscrita de $\triangle IBC$ corta a $\Gamma$ en $D, E$ , donde $D$ está más cerca de $B$ y $E$ está más cerca de $C$ . Sea $\Gamma \cap BE = K (\not= E)$ , $CD \cap BI = T$ y $CD \cap \Gamma = L (\not= D)$ . La recta que pasa por $T$ y es perpendicular a $BI$ corta a $\Gamma$ en $P$ , donde $P$ está en el interior de $\triangle IBC$ . Demuestre que la tangente a $\Gamma$ en $P$ , $KL$ y $BI$ son concurrentes.

2 Los últimos tres dígitos de $ N$ son $ x25$ . ¿Para cuántos valores de $ x$ puede $ N$ ser el cuadrado de un entero?

5 Sea $n \in \mathbb {N^+}$ . Demuestre que la siguiente ecuación puede expresarse como un polinomio en $n$ . $$\left[2\sqrt {1}\right]+\left[2\sqrt {2}\right]+\left[2\sqrt {3}\right]+ . . . +\left[2\sqrt {n^2}\right]$$

7 Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros y grado no menor que $1$ , demuestre que existen infinitos primos $p$ que satisfacen lo siguiente. Existe un entero $n$ tal que $f(n) \not= 0$ y $|f(n)|$ es un múltiplo de $p$ .

8 Se da un entero positivo $n$ . Si existen conjuntos $F_1, F_2, \cdots F_m$ que satisfacen lo siguiente, demuestre que $m \le n$ . (Para conjuntos $A, B$ , $|A|$ es el número de elementos de $A$ . $A-B$ es el conjunto de elementos que están en $A$ pero no en $B$ ) (i): Para todo $1 \le i \le m$ , $F_i \subseteq \{1,2,\cdots n\}$ (ii): $|F_1| \le |F_2| \le \cdots \le |F_m|$ (iii): Para todo $1 \le i < j \le m$ , $|F_i-F_j|=1$ .