2 Sea $p$ un número primo impar. Ana y Ben juegan un juego con movimientos alternados de la siguiente manera: en cada movimiento, el jugador al que le toca el turno elige un número, que no haya sido elegido antes por ninguno de los jugadores, del conjunto $\{1,2,...,2p-3,2p-2\}$ . Este proceso continúa hasta que no queda ningún número. Después del final del proceso, cada jugador crea un número tomando el producto de los números elegidos y luego sumando 1. Decimos que un jugador gana si el número que creó es divisible por $p$ , mientras que el número que creó el oponente no es divisible por $p$ ; de lo contrario, decimos que el juego termina en empate. Ana hace el primer movimiento. ¿Existe una estrategia para que alguno de los jugadores gane el juego? Propuesto por Dorlir Ahmeti, Kosovo

4 Demuestre que para todos los enteros positivos $m$ y $n$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\pi(m)-\pi(n)\leq\frac{(m-1)\varphi(n)}{n}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? Propuesto por Shend Zhjeqi y Dorlir Ahmeti, Kosovo

1 Hay 2019 tarjetas en una caja. Cada tarjeta tiene un número escrito en uno de sus lados y una letra en el otro lado. Amy y Ben juegan el siguiente juego: al principio Amy toma todas las tarjetas, las coloca en una línea y luego voltea tantas tarjetas como desee. Cada vez que Ben toca una tarjeta, debe voltearla a ella y a sus tarjetas vecinas. Ben puede hacer hasta 2019 toques. Ben gana si todas las tarjetas quedan del lado de los números; de lo contrario, gana Amy. Determine quién tiene una estrategia ganadora.

2 Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ $$f(x^{4}-y^{4})+4f(xy)^{2}=f(x^{4}+y^{4})$$

3 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $\frac{4^n+2^n+1}{n^2+n+1}$ es un entero positivo.

4 Dado un rectángulo $ABCD$ tal que $AB = b > 2a = BC$ , sea $E$ el punto medio de $AD$ . Sobre una recta paralela a $AB$ que pasa por el punto $E$ , se elige un punto $G$ tal que el área de $GCE$ es $$(GCE)= \frac12 \left(\frac{a^3}{b}+ab\right)$$ El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $E$ a $GD$ , y se toma un punto $I$ sobre la diagonal $AC$ tal que los triángulos $ACE$ y $AEI$ son semejantes. Las rectas $BH$ y $IE$ se intersecan en $K$ , y las rectas $CA$ y $EH$ se intersecan en $J$ . Demuestre que $KJ \perp AB$ .

4 Para todo $n \in \mathbb{N}_{0}$ , demuestre que $\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2} \right]}{2}^{n-2k} \binom{n}{2k}=\frac{3^{n}+1}{2}$

3 Si $a$ y $b$ son números reales positivos con suma $3$ , y $x, y, z$ números reales positivos con producto $1$ , demuestre que : $(ax+b)(ay+b)(az+b)\geq 27$

1 Halle todos los enteros positivos $(a, b)$ tales que $\frac{a^2}{2ab^2-b^3+1}$ también sea un entero positivo.

1 Resuelva en números reales la ecuación $\sqrt{x+\sqrt{4x+\sqrt{16x+\sqrt{…+\sqrt{4^nx+3}}}}}-\sqrt{x}=1$