C2 Fija un entero $n \ge 2$ y sea $A$ un arreglo de $n\times n$ con $n$ celdas recortadas de modo que exactamente una celda se elimina de cada fila y de cada columna. Una barra es un subarreglo de $A$ de tamaño $1\times k$ o $k\times 1$, donde $k$ es un entero positivo adecuado. (a) Determina el número mínimo de barras en que se puede disectar $A$. (b) Muestra que el número de maneras de disectar $A$ en un número mínimo de barras no excede $100^n$. propuesto por Palmer Mebane y Nikolai Beluhov algunos comentarios una variación de la parte a, fue el problema 5 una variación de la parte b, fue publicada aquí esta publicación se hizo para completar la colección de publicaciones de RMM Shortlist 2017

G1 Sea $ABCD$ un trapecio, con $AD\parallel BC$, y sean $E,F$ puntos sobre los lados $AB$ y $CD$, respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ corta de nuevo a $AD$ en $A_1$, y la circunferencia circunscrita de $CEF$ corta de nuevo a $BC$ en $C_1$. Demuestra que $A_1C_1$, $BD$ y $EF$ son concurrentes.

G2 Sea $ABC$ un triángulo. Considera la circunferencia $\omega_B$ tangente internamente a los lados $BC$ y $BA$, y a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$; sea $P$ el punto de contacto de las dos circunferencias. De manera similar, considera la circunferencia $\omega_C$ tangente internamente a los lados $CB$ y $CA$, y a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$; sea $Q$ el punto de contacto de las dos circunferencias. Muestra que el incentro del triángulo $ABC$ está sobre el segmento $PQ$ si y solo si $AB + AC = 3BC$. propuesto por Luis Eduardo Garcia Hernandez, México

G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean $P$ y $Q$ puntos variables dentro de este cuadrilátero tales que $\angle APB=\angle CPD=\angle AQB=\angle CQD$. Demuestra que las rectas $PQ$ obtenidas de esta manera todas pasan por un punto fijo, o bien son todas paralelas.

N1 Para cada entero positivo $k$, sea $S(k)$ la suma de los dígitos de $k$ en el sistema decimal. Demuestra que existe un entero $k$, sin ningún $9$ en su representación decimal, tal que: $$S(2^{24^{2017}}k)=S(k)$$

N2 Sean $x$, $y$ y $k$ tres enteros positivos. Demuestra que existe un entero positivo $N$ y un conjunto de $k + 1$ enteros positivos $\{b_0,b_1, b_2, ... ,b_k\}$, tal que, para cada $i = 0, 1, ... , k$, la expansión en base $b_i$ de $N$ es un palíndromo de $3$ dígitos, y la expansión en base $b_0$ es exactamente $\overline{\mbox{xyx}}$. propuesto por Bojan Basic, Serbia

1 Cada uno de los puntos $G$ y $H$, situados en lados distintos del plano del hexágono $ABCDEF$, se conecta con todos los vértices del hexágono. ¿Es posible marcar los 18 segmentos así formados con los números $1, 2, 3, \ldots, 18$ y colocar algunos números reales en los puntos $A, B, C, D, E, F, G, H$ de modo que cada segmento esté marcado con la diferencia de los números en sus extremos? Propuesto por A. Golovanov

2 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $abcd=1$. Demuestra que \[ \frac{1+ab}{1+a} + \frac{1+bc}{1+b} + \frac{1+cd}{1+c} + \frac{1+da}{1+d} \geq 4 . \] Propuesto por A. Khrabrov

Un círculo con el mismo centro que el circuncírculo del triángulo \(ABC\) corta a los lados del triángulo en seis puntos que forman un hexágono convexo \(A_{1}A_{2}B_{1}B_{2}C_{1}C_{2}\) ( \(A_{1}\) y \(A_{2}\) están sobre \(BC\) , \(B_{1}\) y \(B_{2}\) están sobre \(AC\) , \(C_{1}\) y \(C_{2}\) están sobre \(AB\) ). Si \(A_{1}B_{1}\) es paralela a la bisectriz del ángulo \(B\) , demuestra que \(A_{2}C_{2}\) es paralela a la bisectriz del ángulo \(C\) . Propuesto por S. Berlov

4 Una mesa rectangular con 2001 filas y 2002 columnas se particiona en rectángulos de $1\times 2$. Se sabe que cualquier otra partición de la mesa en rectángulos de $1\times 2$ contiene un rectángulo que pertenece a la partición original. Demuestra que la partición original contiene dos columnas sucesivas cubiertas por 2001 rectángulos horizontales. Propuesto por S. Volchenkov